Mouvement des satellites et des planètes

Objectifs pédagogiques

• Connaître les lois de Kepler concernant le mouvement des planètes.
• Définir et différencier le repère héliocentrique et le repère géocentrique.
• Exploiter la loi de la gravitation universelle et la deuxième loi de Newton pour étudier le mouvement d'un satellite ou d'une planète.
• Établir les conditions d'un mouvement circulaire uniforme.
• Déterminer la vitesse et la période de révolution d'un satellite.
• Connaître les conditions pour qu'un satellite terrestre soit géostationnaire.

Compétences visées

• Mobiliser les concepts et lois de la mécanique de Newton pour résoudre des problèmes liés à l'exploration spatiale et aux mouvements célestes.
• Extraire des informations scientifiques à partir de données et d'images satellitaires.

Vérifiez vos prérequis

Quelle est l'expression de la loi de la gravitation universelle entre deux corps ponctuels A et B ?

La force exercée par A sur B est :

$$ \vec{F}_{A/B} = -G \frac{m_A \times m_B}{d^2} \vec{u}_{AB} $$

où $G$ est la constante gravitationnelle, $d$ la distance entre les centres, et $\vec{u}_{AB}$ le vecteur unitaire dirigé de A vers B.

Quelles sont les caractéristiques du repère de Frenet lors d'un mouvement curviligne ?

Le repère de Frenet $(M, \vec{u}, \vec{n})$ est lié au mobile M. L'accélération s'écrit :

$$ \vec{a} = a_t \vec{u} + a_n \vec{n} $$

avec $a_t = \frac{dv}{dt}$ et $a_n = \frac{v^2}{r}$, où $r$ est le rayon de courbure.

Énoncez la deuxième loi de Newton.

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de sa masse par le vecteur accélération de son centre d'inertie :

$$ \sum \vec{F}_{ext} = m \cdot \vec{a}_G $$

Quelles sont les conditions pour qu'un mouvement soit circulaire et uniforme ?

La trajectoire doit être un cercle (rayon constant $r$) et la valeur de la vitesse $v$ doit être constante. Par conséquent, $a_t = 0$ et l'accélération est purement normale (centripète) :

$$ \vec{a} = \frac{v^2}{r} \vec{n} $$

Situation de départ

Le Maroc s'est doté récemment de deux puissants satellites jumeaux d'observation : Mohammed VI-A et Mohammed VI-B. Ces engins de haute technologie, placés à environ 647 km au-dessus de nos têtes, jouent un rôle fondamental pour notre pays : ils permettent de surveiller les frontières, de réaliser une cartographie précise du territoire national, d'optimiser les activités agricoles et d'anticiper les catastrophes climatiques.

Mais une question fascinante se pose : Comment ces immenses machines, pesant près d'une tonne (970 kg), réussissent-elles à rester en orbite dans l'espace sans jamais retomber sur la Terre ni s'enfuir dans le vide intersidéral ?

1. Lois de Kepler

La première loi de Kepler (Loi des orbites)

Une ellipse possède deux foyers ($F_1$ et $F_2$). La somme des distances entre un point P de l'ellipse et les deux foyers est constante :

Le point de la trajectoire le plus proche du Soleil s'appelle le Périhélie, et le point le plus éloigné s'appelle l'Aphélie.

La deuxième loi de Kepler (Loi des aires)

Conséquence très importante : La vitesse d'une planète n'est pas constante. Elle augmente lorsqu'elle se rapproche du Soleil (vitesse maximale au périhélie) et elle diminue lorsqu'elle s'en éloigne (vitesse minimale à l'aphélie).

La troisième loi de Kepler (Loi des périodes)

La période de révolution $T$ d'une planète est la durée nécessaire pour qu'elle effectue un tour complet sur son orbite.

Cas particulier de l'orbite circulaire : Si l'orbite de la planète est considérée comme circulaire de rayon $r$, la loi s'écrit :

2. Étude du mouvement d'une planète ou d'un satellite

Application de la 2ème loi de Newton et base de frenet

Pour étudier le mouvement d'un satellite (ou d'une planète) dans un repère central, on utilise souvent le repère de Frenet. L'accélération possède deux composantes :

Sous l'action de la seule force gravitationnelle (qui est centripète), l'accélération du centre d'inertie de la planète est purement radiale et dirigée vers le centre attracteur.

Vitesse de la planète et nature du mouvement

D'après la 2ème loi de Newton, nous avons trouvé $a_n = G \frac{M_S}{r^2}$.

Or, nous savons que $a_n = \frac{v^2}{r}$. En égalisant les deux expressions, on obtient :

On remarque que la vitesse de la planète est indépendante de sa propre masse $m$. Elle ne dépend que de la masse de l'astre attracteur ($M_S$) et du rayon de l'orbite ($r$).

Puisque $v$ est constante, le mouvement est circulaire et uniforme.

Période de révolution (Période orbitale)

Le mouvement étant circulaire uniforme, la distance parcourue en une période $T$ est le périmètre du cercle $L = 2\pi r$. La vitesse est donc $v = \frac{2\pi r}{T}$.

On remplace $v$ par son expression trouvée précédemment :

$$ \frac{2\pi r}{T} = \sqrt{G \frac{M_S}{r}} $$

En élevant au carré et en réorganisant, on obtient l'expression de la période :

Remarque : Si on isole le rapport $\frac{T^2}{r^3}$, on retrouve bien la troisième loi de Kepler : $\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{G \cdot M_S} = constante$.

3. Satellisation et satellites géostationnaires

La satellisation

La satellisation est l'action de lancer un corps dans l'espace avec une vitesse lui permettant de décrire un mouvement circulaire autour de la Terre. Pour le placer sur une orbite de rayon $r = R_T + h$ (où $R_T$ est le rayon de la Terre et $h$ l'altitude), on doit lui fournir une vitesse initiale perpendiculaire au rayon terrestre, appelée vitesse de satellisation :

Les satellites géostationnaires

Un satellite est dit géostationnaire s'il reste immobile pour un observateur terrestre. Pour cela, il doit absolument vérifier ces trois conditions obligatoires :

• Son orbite doit appartenir au plan équatorial de la Terre.
• Le sens de son mouvement doit être le même que celui de la Terre tournant autour d'elle-même.
• Sa période de révolution doit être égale à la période de rotation propre de la Terre (un jour sidéral = 86164 s, soit environ 24h).

En appliquant la troisième loi de Kepler avec $T = 86164$ s, on calcule que cette orbite unique correspond toujours à une altitude fixe :

Vidéos complémentaires

4. Applications dans la vie réelle

Recherche d'approfondissement

5. Exercices corrigés

Exercice : étude du satellite mohammed VI-A

Les deux satellites jumeaux marocains baptisés Mohammed VI-A et Mohammed VI-B ont été mis en orbite respectivement le 08 Novembre 2017 et le 21 Novembre 2018. Ils ont pour missions : l'arpentage (mesure de la superficie des terrains), la cartographie, la gestion de l'environnement, etc.

Ils sont situés sur une même orbite circulaire à une altitude $h = 647 \text{ km}$ de la surface de la terre. Le satellite Mohammed VI-A a une masse $m \approx 970 \text{ kg}$ et sa période de révolution autour de la terre est $T_A$.

Données :

• Rayon de la terre : $R_T \approx 6380 \text{ km}$
• Période de rotation de la terre autour de son axe : $T_T \approx 8,62 \cdot 10^4 \text{ s}$ (jour sidéral)
• Constante de gravitation universelle : $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$
• Intensité du champ de pesanteur à la surface de la terre : $g_0 = 9,8 \text{ N/kg}$

Questions :

• 1 Définir un repère géocentrique.
• 2 Définir un satellite géostationnaire.
• 3 Écrire dans la base de Frenet $(\vec{u}, \vec{n})$ l'expression de la force de gravitation universelle $\vec{F}_{T/S}$ appliquée par la terre sur le satellite (S).
• 4 Par application de la $2^{\text{ème}}$ loi de Newton, donner l'expression de l'accélération $\vec{a}_S$ du satellite (S).
• 5 En déduire la nature du mouvement de (S) dans son orbite autour de la terre et donner l'expression de sa vitesse $v_S$ en fonction de $g_0$, $R_T$ et $h$. Calculer sa valeur. (On considère que l'intensité de la force $\vec{F}_{T/S}$ à la surface de la terre est égale à l'intensité du poids du satellite).
• 6 Montrer que la masse de la terre est : $M_T \approx 6 \cdot 10^{24} \text{ kg}$.
• 7 Calculer la période de révolution $T_A$ du satellite (S). Est-il géostationnaire par rapport à la terre ? Justifier.
• 8 Le Maroc possède un $3^{\text{ème}}$ satellite qui s'appelle "Zarqae alyamama" mis en orbite en 2001 à une altitude $h'$ et dont la période de révolution est $T' \approx 6300 \text{ s}$. En appliquant la $3^{\text{ème}}$ loi de Kepler, déterminer $h'$.

Voir la solution

Attention. Pensez toujours à convertir les kilomètres (km) en mètres (m) avant de faire le moindre calcul utilisant la constante $G$. L'unité du système international pour les distances est le mètre.

1 Un repère géocentrique est un repère dont l'origine est le centre de la Terre et dont les trois axes sont dirigés vers trois étoiles lointaines considérées fixes.

2 Un satellite géostationnaire est un satellite qui paraît immobile par rapport à un observateur terrestre. Son orbite est équatoriale, son sens de rotation est le même que celui de la Terre, et sa période est de $\approx 24h$.

3 Dans la base de Frenet : $\vec{F}_{T/S} = G \frac{M_T \cdot m}{(R_T + h)^2} \vec{n}$.

4 $\sum \vec{F} = m \vec{a}_S \implies G \frac{M_T \cdot m}{(R_T + h)^2} \vec{n} = m \vec{a}_S \implies \vec{a}_S = G \frac{M_T}{(R_T + h)^2} \vec{n}$.

Attention. Pour l'expression de $g_0$, souvenez-vous qu'à la surface de la Terre ($h=0$), le poids $P = m \cdot g_0$ équivaut à la force de gravitation : $m \cdot g_0 = G \frac{M_T \cdot m}{R_T^2}$. D'où $G M_T = g_0 \cdot R_T^2$.

5 Puisque l'accélération est purement radiale et centripète ($a_t = 0$), la vitesse est constante. Le mouvement est donc circulaire uniforme.
Expression de la vitesse : $a_n = \frac{v_S^2}{R_T+h} = G \frac{M_T}{(R_T + h)^2} \implies v_S = \sqrt{\frac{G M_T}{R_T + h}}$.
En utilisant l'astuce $G M_T = g_0 R_T^2$, on obtient :

$v_S = R_T \sqrt{\frac{g_0}{R_T + h}}$

.
Calcul : $v_S = 6380 \cdot 10^3 \sqrt{\frac{9,8}{6380 \cdot 10^3 + 647 \cdot 10^3}} \approx 7536 \text{ m/s}$.

6 De la relation $g_0 = G \frac{M_T}{R_T^2}$, on tire $M_T = \frac{g_0 \cdot R_T^2}{G}$.
$M_T = \frac{9,8 \cdot (6380 \cdot 10^3)^2}{6,67 \cdot 10^{-11}} \approx 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg} \approx 6 \cdot 10^{24} \text{ kg}$.

7 Période $T_A = \frac{2\pi (R_T + h)}{v_S}$.
$T_A = \frac{2 \pi (6380 \cdot 10^3 + 647 \cdot 10^3)}{7536} \approx 5859 \text{ s}$.
Ce satellite n'est pas géostationnaire car $T_A \neq T_T$ ($5859 \text{ s} \neq 86200 \text{ s}$) et $h \neq 36000 \text{ km}$.

8 $3^{\text{ème}}$ loi de Kepler : $\frac{T'^2}{(R_T + h')^3} = \frac{4\pi^2}{G M_T}$.
On isole $R_T + h'$ : $(R_T + h')^3 = \frac{T'^2 \cdot G M_T}{4\pi^2}$.
Donc $h' = \sqrt[3]{\frac{T'^2 \cdot G M_T}{4\pi^2}} - R_T$.
Application numérique : $h' = \sqrt[3]{\frac{(6300)^2 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{4 \cdot \pi^2}} - 6380 \cdot 10^3 \approx 1032 \text{ km}$.

6. QCM : 30 questions

7. Documents à télécharger

• Supports imprimables : activités, exercices et figures

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