Mouvement d'une particule chargée dans le champ magnétique uniforme

Objectifs pédagogiques

• Connaître les caractéristiques de la force de Lorentz agissant sur une particule chargée.
• Appliquer la deuxième loi de Newton pour établir la nature du mouvement dans un champ magnétique uniforme.
• Démontrer que le mouvement est circulaire et uniforme lorsque la vitesse initiale est perpendiculaire au champ magnétique.
• Déterminer le rayon, la période et la déflexion magnétique de la trajectoire.
• Comprendre le principe de fonctionnement du spectromètre de masse et du cyclotron.

Compétences visées

• Savoir utiliser le produit vectoriel et la règle de la main droite (ou des trois doigts) pour orienter l'espace.
• Exploiter les déviations magnétiques pour séparer des isotopes ou identifier des particules dans les accélérateurs.

Vérifiez vos prérequis

Énoncez la deuxième loi de Newton.

Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures est égale au produit de la masse par le vecteur accélération :

$$ \sum \overrightarrow{F}_{ext} = m \cdot \overrightarrow{a}_G $$

Quelles sont les composantes de l'accélération dans le repère de Frenet pour un mouvement circulaire ?

L'accélération possède une composante tangentielle $a_t = \frac{dv}{dt}$ et une composante normale centripète $a_n = \frac{v^2}{R}$.

$$ \overrightarrow{a} = \frac{dv}{dt} \overrightarrow{u} + \frac{v^2}{R} \overrightarrow{n} $$

Qu’est-ce que le champ magnétique et quelles sont les caractéristiques du champ magnétique uniforme ?

Le champ magnétique est une grandeur vectorielle qui décrit l’influence magnétique exercée par un aimant ou un courant électrique dans l’espace, et il est représenté par le vecteur $\overrightarrow{B}$. Un champ magnétique uniforme se caractérise par une direction, un sens et une intensité constants en tout point de la région considérée ; ses lignes de champ sont parallèles et équidistantes, ce qui signifie que la force magnétique y est la même en tout point pour une même particule.

Qu'est-ce qu'un produit vectoriel de deux vecteurs orthogonaux $\overrightarrow{A}$ et $\overrightarrow{B}$ ?

Le produit vectoriel $\overrightarrow{C} = \overrightarrow{A} \wedge \overrightarrow{B}$ donne un vecteur perpendiculaire au plan formé par $\overrightarrow{A}$ et $\overrightarrow{B}$. Si l'angle est de $90^\circ$, sa norme est $C = A \cdot B$.

Situation de départ

Dans les laboratoires d'analyse chimique ou de recherche nucléaire (comme au CNESTEN au Maroc), il est souvent nécessaire d'identifier des isotopes inconnus ou de séparer des particules invisibles ayant la même charge électrique mais des masses légèrement différentes. Les techniques classiques de filtration mécanique sont totalement impossibles à cette échelle microscopique.

Pourtant, en injectant ces particules à grande vitesse dans un dispositif contenant un puissant aimant (spectromètre de masse), elles se séparent d'elles-mêmes, comme par magie, en empruntant des chemins courbes différents.

Comment un champ magnétique invisible peut-il agir physiquement sur une particule en mouvement pour courber sa trajectoire ? Comment peut-on prévoir le rayon exact de cette courbure pour identifier avec précision la particule ?

1. Champ magnétique et force de lorentz

Le champ magnétique uniforme

Un champ magnétique est dit uniforme s'il est constant en direction, en sens et en valeur dans toute la zone étudiée. On le note par le vecteur $\overrightarrow{B}$ et son intensité s'exprime en Tesla (T).

La force de Lorentz

Toute particule de charge $q$, animée d'une vitesse $\overrightarrow{v}$ dans un champ magnétique $\overrightarrow{B}$, subit une force magnétique appelée Force de Lorentz. Son expression mathématique utilise le produit vectoriel :

Les caractéristiques de cette force $\overrightarrow{F}$ sont :

• Point d'application : La particule chargée en mouvement.
• Direction : Perpendiculaire au plan formé par les vecteurs $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{B}$.
• Sens : Déterminé par la Règle des trois doigts de la main droite (ou le trièdre direct).
• Intensité : $F = |q| \cdot v \cdot B \cdot \sin(\overrightarrow{v}, \overrightarrow{B})$. Si $\overrightarrow{v}$ est perpendiculaire à $\overrightarrow{B}$, alors $\sin(90^\circ) = 1$, d'où $F = |q| \cdot v \cdot B$.

2. Étude du mouvement de la particule

Considérons une particule chargée pénétrant dans une zone où règne un champ magnétique uniforme $\overrightarrow{B}$, avec une vitesse initiale $\overrightarrow{v}_0$ perpendiculaire à $\overrightarrow{B}$. On néglige le poids de la particule devant l'intensité de la force magnétique.

Application de la deuxième loi de Newton

La particule n'est soumise qu'à la force de Lorentz :

$$ \sum \overrightarrow{F}_{ext} = m \cdot \overrightarrow{a}_G \implies \overrightarrow{F} = m \cdot \overrightarrow{a}_G $$

En remplaçant par l'expression de la force :

On remarque que l'accélération $\overrightarrow{a}_G$ a la même direction que la force $\overrightarrow{F}$. Puisque $\overrightarrow{F}$ est toujours perpendiculaire au vecteur vitesse $\overrightarrow{v}$, l'accélération $\overrightarrow{a}_G$ est toujours perpendiculaire à la vitesse de la particule.

Nature du mouvement : circulaire uniforme

Utilisons la base de Frenet $(M, \overrightarrow{u}, \overrightarrow{n})$. L'accélération s'écrit : $\overrightarrow{a}_G = \frac{dv}{dt} \overrightarrow{u} + \frac{v^2}{R} \overrightarrow{n}$.

Puisque $\overrightarrow{a}_G$ est perpendiculaire à la vitesse (qui est portée par le vecteur tangentiel $\overrightarrow{u}$), la composante tangentielle de l'accélération est nulle :

$$ a_t = \frac{dv}{dt} = 0 \implies v = constante $$

Le mouvement est donc uniforme. La vitesse conserve sa valeur initiale $v = v_0$.

L'accélération est purement normale ($a_n = a$). Par projection sur la normale $\overrightarrow{n}$ :

$$ m \cdot a_n = |q| \cdot v_0 \cdot B \implies m \frac{v_0^2}{R} = |q| \cdot v_0 \cdot B $$

En simplifiant par $v_0$ et en isolant le rayon de courbure $R$, on obtient une constante :

Puisque la masse $m$, la charge $q$, la vitesse $v_0$ et le champ $B$ sont constants, le rayon $R$ est constant. La trajectoire est donc un cercle parfait. Le mouvement global est circulaire et uniforme.

Période du mouvement

La période $T$ est la durée nécessaire pour effectuer un tour complet (périmètre $2\pi R$). Puisque la vitesse est constante $v_0 = \frac{2\pi R}{T}$ :

$$ T = \frac{2\pi R}{v_0} $$

En remplaçant le rayon $R$ par son expression trouvée ci-dessus :

Ce résultat est fascinant : la période d'une particule dans un champ magnétique est indépendante de sa vitesse ! Elle ne dépend que de sa masse, de sa charge et de l'intensité de champ magnètique.

3. La déflexion magnétique et Applications

La déflexion magnétique ($D_m$)

Lorsqu'un faisceau de particules (ex: électrons) traverse une zone de champ magnétique de largeur $l$, il subit une déviation. Après être sorti du champ, le faisceau continue en ligne droite (mouvement rectiligne uniforme) et vient frapper un écran situé à une distance $L$. L'écart sur l'écran par rapport au centre s'appelle la déflexion magnétique.

Pour de très petits angles de déviation, on peut utiliser l'approximation $\sin(\alpha) \approx \tan(\alpha) \approx \alpha$.

Dans la zone magnétique : $\sin(\alpha) = \frac{l}{R}$

Géométrie vers l'écran : $\tan(\alpha) \approx \frac{D_m}{L}$

On égalise les deux : $\frac{l}{R} = \frac{D_m}{L} \implies D_m = \frac{L \cdot l}{R}$

En remplaçant $R$ par son expression $R = \frac{m \cdot v_0}{|q| \cdot B}$, on obtient la relation finale de la déflexion :

Le Spectromètre de masse

Le spectromètre de masse est un appareil permettant de séparer des ions (comme des isotopes) ayant la même charge électrique mais des masses différentes. Il se compose de deux parties :

• Chambre d'accélération : Les ions y sont accélérés par un champ électrique. Par le théorème de l'énergie cinétique, ils acquièrent tous la même vitesse : $v_0 = \sqrt{\frac{2 \cdot |q| \cdot U}{m}}$.
• Chambre de séparation : Les ions pénètrent dans un champ magnétique uniforme $\overrightarrow{B}$. Ils décrivent des demi-cercles de rayons différents car le rayon $R$ dépend de la masse $m$. Les ions les plus lourds feront des cercles plus grands et frapperont le détecteur plus loin.

Le cyclotron

Le cyclotron est un puissant accélérateur de particules. Il est constitué de deux demi-cylindres creux appelés "Dees" placés dans un champ magnétique. Un champ électrique alternatif est appliqué entre les deux Dees pour accélérer la particule à chaque passage.

Le champ magnétique force la particule à tourner en demi-cercles. Plus elle gagne en vitesse, plus le rayon de son cercle augmente. Comme la période $T$ est indépendante de la vitesse, la particule arrive toujours au bon moment pour être accélérée par le champ électrique oscillant, jusqu'à sortir du cyclotron à très haute énergie.

Vidéos complémentaires

4. Applications dans la vie réelle

Recherche d'approfondissement

5. Exercices corrigés

Exercice 1 : séparation des isotopes du magnésium

On utilise un spectromètre de masse pour séparer les isotopes du Magnésium ${}^{24}Mg^{2+}$ et ${}^{26}Mg^{2+}$. Ces ions, initialement au repos, sont accélérés par une tension $U$. Ils pénètrent ensuite dans une chambre de déviation où règne un champ magnétique uniforme $B = 0,5 \text{ T}$.

Les ions décrivent un demi-cercle et frappent un détecteur. Soit $R_1$ le rayon de la trajectoire de l'isotope léger (${}^{24}Mg^{2+}$) et $R_2$ le rayon pour l'isotope lourd (${}^{26}Mg^{2+}$).

Données : Charge élémentaire $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}$ ; Masse atomique $1u = 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg}$.
Masse de ${}^{24}Mg^{2+} = 24 u$ ; Masse de ${}^{26}Mg^{2+} = 26 u$. Vitesse d'entrée dans B : $v_0 = 4 \cdot 10^5 \text{ m/s}$ pour l'isotope léger.

Questions :

• 1 Quelle est la valeur de la charge $q$ de ces ions ?
• 2 Montrer littéralement que la trajectoire dans le champ B est circulaire.
• 3 Calculer le rayon de courbure $R_1$ de l'isotope ${}^{24}Mg^{2+}$.
• 4 En déduire la distance $d$ séparant les deux points d'impact sur le détecteur sachant que $R_2$ est plus grand que $R_1$.

Voir la solution 1

Attention. La distance séparant les points d'impact correspond à la différence des diamètres des deux trajectoires demi-circulaires, pas des rayons ! Donc $d = D_2 - D_1 = 2(R_2 - R_1)$.

1 La notation $Mg^{2+}$ indique que l'atome a perdu 2 électrons. Sa charge est donc positive : $q = +2e = 2 \times 1,6 \cdot 10^{-19} = 3,2 \cdot 10^{-19} \text{ C}$.

2 2ème loi de Newton : $\overrightarrow{F} = m\overrightarrow{a} \implies q\overrightarrow{v} \wedge \overrightarrow{B} = m\overrightarrow{a}$.
L'accélération est normale, le mouvement est uniforme. Par projection sur la normale du repère de Frenet :
$|q|vB = m\frac{v^2}{R} \implies R = \frac{m \cdot v}{|q| \cdot B}$. Le rayon étant constant, la trajectoire est un cercle.

3 Calcul de $R_1$ :
Masse $m_1 = 24 \times 1,66 \cdot 10^{-27} = 3,984 \cdot 10^{-26} \text{ kg}$.
$R_1 = \frac{3,984 \cdot 10^{-26} \times 4 \cdot 10^5}{3,2 \cdot 10^{-19} \times 0,5} = \frac{1,5936 \cdot 10^{-20}}{1,6 \cdot 10^{-19}} \approx 0,0996 \text{ m}$ (soit $\approx 10 \text{ cm}$).

4 Pour calculer $d$, il faut trouver $R_2$. Attention, la vitesse $v_2$ de l'isotope lourd est différente (plus faible car accéléré par la même tension U). L'énergie cinétique est : $\frac{1}{2}m_1 v_1^2 = \frac{1}{2}m_2 v_2^2 = 2eU$.
Donc $m_1 v_1^2 = m_2 v_2^2 \implies v_2 = v_1 \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$.
Le rayon est $R_2 = \frac{m_2 v_2}{q B} = \frac{m_2 v_1 \sqrt{m_1/m_2}}{q B} = \frac{v_1 \sqrt{m_1 m_2}}{q B}$.
Calculons $m_2 = 26 \times 1,66 \cdot 10^{-27} = 4,316 \cdot 10^{-26} \text{ kg}$.
$R_2 = \frac{4 \cdot 10^5 \times \sqrt{3,984 \cdot 10^{-26} \times 4,316 \cdot 10^{-26}}}{3,2 \cdot 10^{-19} \times 0,5} \approx 0,1036 \text{ m}$.
Distance $d = 2 \cdot R_2 - 2 \cdot R_1 = 2 \times 0,1036 - 2 \times 0,0996 = 0,2072 - 0,1992 = 0,008 \text{ m}$ (soit 8 mm). Les deux isotopes frappent le détecteur à 8 mm d'écart !

Autre méthode (Pour les classes de Sciences Physiques - Sans l'accélération électrique $eU$) :
Dans le cadre de cet exercice, si l'on considère que les deux isotopes entrent dans le champ magnétique avec exactement la même vitesse initiale $v_0 = 4 \cdot 10^5 \text{ m/s}$ :
Le rayon de l'isotope lourd devient simplement : $R_2 = \frac{m_2 \cdot v_0}{|q| \cdot B}$.
Calcul de $R_2$ : $R_2 = \frac{4,316 \cdot 10^{-26} \times 4 \cdot 10^5}{3,2 \cdot 10^{-19} \times 0,5} = 0,1079 \text{ m}$.
La distance entre les points d'impact est alors : $d = 2 \cdot R_2 - 2 \cdot R_1 = 2 \times 0,1079 - 2 \times 0,0996 = 0,2158 - 0,1992 = 0,0166 \text{ m}$ (soit $16,6 \text{ mm}$).

Exercice 2 : déviation d'un faisceau de lithium

Des ions de Lithium $Li^{+}$ sont introduits en un point O avec une vitesse initiale $v_0 = 10^5 \text{ m/s}$ dans un espace où règne un champ magnétique $\overrightarrow{B}$ uniforme perpendiculaire au vecteur vitesse. Le champ règne sur une largeur $l = 5 \text{ cm}$. Les ions sont ensuite détectés sur un écran placé à $L = 40 \text{ cm}$ de la zone magnétique.

Données : Intensité de $B = 0,5 \text{ T}$. Masse de $Li^{+} : m = 6,015 u = 9,98 \cdot 10^{-27} \text{ kg}$. Charge élémentaire $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}$.

Questions :

• 1 Calculer la valeur de la force de Lorentz agissant sur un ion Lithium à son entrée en O.
• 2 Déterminer la valeur du rayon de courbure $R$ de sa trajectoire à l'intérieur du champ magnétique.
• 3 Calculer la déflexion magnétique $D_m$ observée sur l'écran en supposant que l'angle de déviation est faible.

Voir la solution 2

Attention. N'oubliez jamais de convertir les distances ($l$ et $L$) en mètres avant d'utiliser la formule de la déflexion magnétique pour obtenir un résultat cohérent !

1 La force de Lorentz est donnée par $F = |q| \cdot v \cdot B \cdot \sin(90^\circ)$. L'ion $Li^{+}$ a une charge de $+1e$.
$F = 1,6 \cdot 10^{-19} \times 10^5 \times 0,5 = 8 \cdot 10^{-15} \text{ Newton}$.

2 Le rayon de courbure est $R = \frac{m \cdot v_0}{|q| \cdot B}$.
$R = \frac{9,98 \cdot 10^{-27} \times 10^5}{1,6 \cdot 10^{-19} \times 0,5}$
$R = \frac{9,98 \cdot 10^{-22}}{8 \cdot 10^{-20}} \approx 0,0124 \text{ m} = 1,24 \text{ cm}$.

3 Déflexion magnétique $D_m$ sur l'écran.
On sait que $l = 5 \text{ cm} = 0,05 \text{ m}$ et $L = 40 \text{ cm} = 0,40 \text{ m}$.
Cependant, attention, la formule d'approximation des petits angles $D_m = \frac{L \cdot l}{R}$ n'est valable que si la trajectoire dans le champ est petite devant le rayon. Ici, $l=5 \text{ cm}$ et $R=1,24 \text{ cm}$, donc la particule ferait un demi-tour à l'intérieur de la zone si le champ était assez large ! Ce cas montre que l'approximation n'est physiquement pas applicable ici, mais en appliquant mathématiquement la formule de l'exercice pour le principe :
$D_m = \frac{0,40 \times 0,05}{0,0124} \approx 1,61 \text{ m}$. L'ion subit une déviation énorme !

6. QCM : 30 questions

7. Fiches d'expériences

Pour les enseignants et pour préparer les travaux pratiques.

8. Documents à télécharger

• Supports imprimables : activités, exercices et figures

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