Mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur uniforme

Pour 2BAC PC 2BAC SVT 2BAC SM Mis à jour le 15 octobre 2026

Objectifs pédagogiques

  • Appliquer la deuxième loi de Newton pour déterminer les équations différentielles du mouvement d'un projectile.
  • Déterminer les équations horaires du mouvement et déduire l'équation de la trajectoire.
  • Identifier les caractéristiques de la trajectoire : la portée et la flèche (le sommet).
  • Savoir exploiter les conditions initiales pour trouver les constantes d'intégration.

Compétences visées

  • Modéliser mathématiquement une situation physique réelle (tir sportif, balistique).
  • Maîtriser la projection des vecteurs sur un repère cartésien bidimensionnel $(O, x, y)$.

Vérifiez vos prérequis

Énoncez la deuxième loi de Newton. Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de sa masse par le vecteur accélération :
$$ \sum \overrightarrow{F}_{ext} = m \cdot \overrightarrow{a}_G $$
Qu'est-ce qu'une chute libre en physique ? Un corps est en chute libre lorsqu'il n'est soumis qu'à une seule force : son Poids ($\overrightarrow{P}$). On néglige alors toutes les forces de frottement de l'air.
Comment projeter un vecteur $\overrightarrow{V}_0$ faisant un angle $\alpha$ avec l'axe horizontal (Ox) ? La projection donne deux composantes :
$$ V_{0x} = V_0 \cdot \cos(\alpha) $$
$$ V_{0y} = V_0 \cdot \sin(\alpha) $$
Quelle est la primitive de la fonction mathématique $f(t) = a$ (où a est une constante) ? La primitive est $F(t) = a \cdot t + C$ (où $C$ est une constante déterminée par les conditions initiales).

Situation de départ

Lors d'un match de football de la Botola Pro, un joueur doit tirer un coup franc décisif à 25 mètres des buts adverses. Un "mur" de défenseurs (hauteur 1,80 m) est placé à 9,15 m du ballon. Le joueur souhaite lober le mur tout en cadrant son tir sous la barre transversale. Ailleurs, lors d'un incendie dans une zone inaccessible, la protection civile doit projeter de l'eau avec une lance à une certaine distance sans s'approcher trop près du foyer.

Comment, en ajustant uniquement la vitesse initiale et l'angle de tir, peut-on contrôler avec précision le point d'impact (portée) et la hauteur maximale atteinte (flèche) par le projectile ?

Coup franc au football et jet d'eau
La trajectoire du ballon dépend strictement de la vitesse initiale et de l'angle de tir.

1. Étude expérimentale et théorique

Activité expérimentale : Lancement d'une balle

Activité expérimentale : Lancement d'une balle

On lance une balle avec une vitesse initiale $\overrightarrow{V}_0$ formant un angle $\alpha$ avec l'horizontale. À l'aide d'une caméra et d'un logiciel de traitement vidéo (comme Aviméca ou Regressi), on enregistre les positions successives du centre d'inertie de la balle. L'analyse montre que la balle décrit une courbe dans un plan vertical.

Questions :

1 Comment appelle-t-on la forme mathématique de cette trajectoire observée ?
2 Si on néglige la résistance de l'air, à quelle force unique la balle est-elle soumise durant son vol ?
Voir les réponses de l'activité 1 La courbe décrite est une parabole.
2 La balle n'est soumise qu'à la force d'attraction de la Terre, c'est-à-dire son Poids ($\overrightarrow{P}$). Son mouvement est donc une chute libre.

Bilan des forces et accélération

On étudie le mouvement du projectile (de masse $m$) dans un repère terrestre $(O, x, y)$ supposé galiléen.

Puisqu'on néglige les frottements de l'air, le système est en chute libre. L'unique force appliquée est le poids :

$$ \sum \overrightarrow{F}_{ext} = \overrightarrow{P} $$
Représentation de la force sur le projectile
La seule force agissant sur le projectile est son Poids, dirigé verticalement vers le bas.

D'après la deuxième loi de Newton, nous avons :

$$ \overrightarrow{P} = m \cdot \overrightarrow{a}_G $$

Or, nous savons que $\overrightarrow{P} = m \cdot \overrightarrow{g}$. En simplifiant par la masse $m$, on trouve le vecteur accélération :

$$ \overrightarrow{a}_G = \overrightarrow{g} $$

On constate que l'accélération du projectile est indépendante de sa masse.

Les conditions initiales

Pour résoudre le problème, il faut projeter les vecteurs position initiale $\overrightarrow{OG}_0$ et vitesse initiale $\overrightarrow{V}_0$ sur les axes $(Ox)$ et $(Oy)$.

Projection de la vitesse initiale
Projection du vecteur vitesse initiale $\overrightarrow{V}_0$ selon l'angle de tir $\alpha$.

À l'instant $t=0$, le projectile part de l'origine $O(0,0)$ avec une vitesse $\overrightarrow{V}_0$ :

$$ \overrightarrow{OG}_0 \begin{cases} x_0 = 0 \\ y_0 = 0 \end{cases} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{V}_0 \begin{cases} V_{0x} = V_0 \cdot \cos(\alpha) \\ V_{0y} = V_0 \cdot \sin(\alpha) \end{cases} $$

Testez-vous

Si on lance une boule de pétanque (lourde) et une balle de tennis (légère) avec le même angle et la même vitesse initiale dans le vide, que se passe-t-il ?

Que vaut la composante horizontale de l'accélération $a_x$ ?

Si l'angle de tir $\alpha$ est de $0^\circ$ (tir horizontal), que vaut la vitesse verticale initiale $V_{0y}$ ?

2. Équations horaires et de la trajectoire

Ouvrir la simulation : Équations horaires et de la trajectoire

Ouvrir la simulation en plein écran

Équations horaires de la vitesse

Équations horaires de la vitesse

On projette l'accélération $\overrightarrow{a}_G = \overrightarrow{g}$ sur les axes du repère $(O, x, y)$ orienté vers le haut :

$\overrightarrow{a}_G \begin{cases} a_x = 0 \\ a_y = -g \end{cases}$

Sachant que l'accélération est la dérivée de la vitesse ($\overrightarrow{a} = \frac{d\overrightarrow{V}}{dt}$), on intègre pour trouver les composantes de la vitesse. Les constantes d'intégration sont définies par les conditions initiales ($V_{0x}$ et $V_{0y}$) :

$$ \overrightarrow{V}_G(t) \begin{cases} V_x(t) = V_0 \cdot \cos(\alpha) \\ V_y(t) = -g \cdot t + V_0 \cdot \sin(\alpha) \end{cases} $$

Remarque très importante : La vitesse horizontale $V_x$ reste constante au cours du temps (le mouvement horizontal est uniforme). La vitesse verticale $V_y$ varie au cours du temps (le mouvement vertical est uniformément varié).

Équations horaires de la position

Sachant que la vitesse est la dérivée de la position ($\overrightarrow{V} = \frac{d\overrightarrow{OG}}{dt}$), on intègre les équations de la vitesse pour trouver les coordonnées $x(t)$ et $y(t)$. Les constantes d'intégration valent zéro car le départ se fait à l'origine $O(0,0)$ :

$$ \overrightarrow{OG}(t) \begin{cases} x(t) = (V_0 \cdot \cos\alpha) \cdot t \\ y(t) = -\frac{1}{2} g \cdot t^2 + (V_0 \cdot \sin\alpha) \cdot t \end{cases} $$

L'équation de la trajectoire

L'équation de la trajectoire est une relation mathématique directe entre $y$ et $x$, indépendante du temps $t$. Pour la trouver, il faut éliminer la variable temps $t$ des équations horaires.

À partir de l'équation $x(t)$, on extrait le temps : $t = \frac{x}{V_0 \cdot \cos\alpha}$

On remplace cette expression de $t$ dans l'équation de $y(t)$ :

$$ y(x) = -\frac{1}{2} g \left( \frac{x}{V_0 \cdot \cos\alpha} \right)^2 + V_0 \cdot \sin\alpha \left( \frac{x}{V_0 \cdot \cos\alpha} \right) $$

En simplifiant (et sachant que $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$), on obtient l'équation finale :

$$ y(x) = -\frac{g}{2 V_0^2 \cdot \cos^2\alpha} \cdot x^2 + x \cdot \tan(\alpha) $$

Cette équation est de la forme $y = A \cdot x^2 + B \cdot x$. C'est l'équation mathématique d'une parabole.

Testez-vous

Que peut-on dire du mouvement du projectile selon l'axe horizontal (Ox) ?

L'équation de la trajectoire dépend-elle de la masse du projectile ?

Quelle est l'unité de la constante A dans l'équation $y = Ax^2 + Bx$ ?

3. Caractéristiques de la trajectoire

Caractéristiques de la trajectoire
Trajectoire avec flèche et portée
La trajectoire parabolique met en évidence la Flèche (F) et la Portée (P).

La flèche (le sommet de la trajectoire)

La flèche (notée $F$ ou $S$) est le point le plus haut atteint par le projectile. À ce sommet précis, le projectile cesse de monter et commence à redescendre. Par conséquent, la composante verticale de sa vitesse s'annule : $V_y = 0$.

On utilise cette condition : $V_y(t_F) = -g \cdot t_F + V_0 \cdot \sin\alpha = 0 \implies t_F = \frac{V_0 \cdot \sin\alpha}{g}$

En remplaçant ce temps $t_F$ dans l'équation de $y(t)$, on trouve l'altitude maximale (la hauteur de la flèche) :

$$ y_F = \frac{V_0^2 \cdot \sin^2(\alpha)}{2g} $$

La portée

La portée (notée $P$) est la distance horizontale séparant le point de lancement et le point d'impact du projectile avec le sol horizontal (axe Ox). Au point d'impact, l'altitude s'annule : $y_P = 0$.

On utilise l'équation de la trajectoire et on la pose égale à zéro :

$$ 0 = -\frac{g}{2 V_0^2 \cdot \cos^2\alpha} \cdot x_P^2 + x_P \cdot \tan(\alpha) $$

En écartant la solution $x=0$ (le point de départ), on résout l'équation en utilisant la relation mathématique $2 \cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha = \sin(2\alpha)$ :

$$ x_P = \frac{V_0^2 \cdot \sin(2\alpha)}{g} $$

Remarque stratégique : Pour une vitesse $V_0$ donnée, la portée est maximale lorsque $\sin(2\alpha)$ est maximal (c'est-à-dire égal à 1). Cela se produit si $2\alpha = 90^\circ$, donc si $\alpha = 45^\circ$.

Testez-vous

Au sommet de la trajectoire (la flèche), la vitesse globale du projectile est-elle nulle ?

Pour envoyer un ballon le plus loin possible, quel angle devez-vous choisir ?

Que se passe-t-il pour la portée si on double la vitesse initiale $V_0$ ?

L'essentiel

  • Bilan et Accélération : L'unique force est $\overrightarrow{P}$. D'où $\overrightarrow{a}_G = \overrightarrow{g}$.
  • Vitesses :
    - $V_x(t) = V_0 \cos\alpha$ (Mouvement Uniforme)
    - $V_y(t) = -gt + V_0 \sin\alpha$ (Mouvement Uniformément Varié)
  • Positions :
    - $x(t) = (V_0 \cos\alpha)t$
    - $y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + (V_0 \sin\alpha)t$
  • Trajectoire Parabolique : $y(x) = -\frac{g}{2 V_0^2 \cos^2\alpha} x^2 + x \tan\alpha$
  • Flèche (Hauteur Max) : Atteinte quand $V_y = 0$ ; $y_F = \frac{V_0^2 \sin^2\alpha}{2g}$
  • Portée (Distance Max) : Atteinte quand $y_P = 0$ ; $x_P = \frac{V_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$ (Max pour $\alpha=45^\circ$).

4. Applications dans la vie réelle

La physique du projectile régit un très grand nombre de situations courantes et technologiques :

  • Les sports de balle et de lancer : Football (coups francs, passes longues), Basketball (tirs à trois points), lancer du poids, Javelot.
  • L'hydraulique de sécurité : L'orientation des lances à incendie par les pompiers pour atteindre des flammes en hauteur ou à grande distance.
  • L'irrigation agricole : La conception des arroseurs automatiques rotatifs pour maximiser la zone arrosée (réglage de l'angle à 45°).
  • La balistique militaire : Le calcul des trajectoires des missiles non guidés, de l'artillerie et des obus (bien que les frottements de l'air y soient ajoutés).
  • Les effets spéciaux ou cascades : Le calcul précis de la vitesse d'une voiture tremplin pour franchir un obstacle.

Recherche d'approfondissement

Pour élargir votre culture scientifique sur ce sujet, essayez de répondre à ces questions :

  • L'influence de l'air : Dans la réalité, l'air ralentit le projectile. Comment la courbe de la parabole se déforme-t-elle à cause des frottements ?
  • L'effet Magnus au Football : Comment un joueur comme Roberto Carlos a-t-il pu donner une trajectoire courbée (qui tourne en plein vol) à son ballon lors de son célèbre coup franc ?

5. Exercices corrigés

Exercice 1 : le coup franc décisif

Lors d'un match de football, un joueur tire un coup franc direct. Le ballon (assimilé à un point matériel) quitte le sol à l'origine $O$ avec une vitesse initiale $V_0 = 20 \text{ m/s}$ formant un angle $\alpha = 30^\circ$ avec l'horizontale. À une distance $D = 9,15 \text{ m}$ se dresse un "mur" de joueurs adverses de hauteur $h_{mur} = 1,80 \text{ m}$. Le but adverse se trouve à une distance $L = 25 \text{ m}$ du point de tir, et la barre transversale est à une hauteur $H_{but} = 2,44 \text{ m}$.

On néglige l'action de l'air et on prend $g = 9,8 \text{ m/s}^2$.

Coup franc au football
La trajectoire du ballon dépend strictement de la vitesse initiale et de l'angle de tir.

Questions :

  • 1 Établir l'équation de la trajectoire $y(x)$ du ballon dans le repère $(O, x, y)$.
  • 2 Le ballon réussit-il à passer au-dessus du mur de défenseurs ? Justifier par le calcul.
  • 3 Le tir est-il cadré ? (C'est-à-dire, le ballon passe-t-il sous la barre transversale lorsqu'il arrive au niveau de la ligne de but ?)
  • 4 À quelle distance exacte le ballon touchera-t-il le sol s'il n'est intercepté par personne (Portée) ?
Voir la solution 1
Attention. Pour savoir si le ballon passe le mur ou rentre dans le but, il suffit de calculer l'altitude $y$ pour la valeur de $x$ correspondante et de comparer avec la hauteur de l'obstacle !

1 L'équation de la trajectoire démontrée dans le cours est : $y(x) = -\frac{g}{2 V_0^2 \cos^2\alpha} x^2 + x \tan\alpha$.
En remplaçant par les valeurs numériques ($g=9,8$, $V_0=20$, $\alpha=30^\circ$) :
$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$. Son carré est $0,75$.
$\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0,577$.
Le coefficient de $x^2$ est : $-\frac{9,8}{2 \times 400 \times 0,75} = -\frac{9,8}{600} \approx -0,0163$.
L'équation est donc :

$y(x) = -0,0163 \cdot x^2 + 0,577 \cdot x$
.

2 Passage du mur : Le mur est situé à $x = 9,15 \text{ m}$. Calculons l'altitude du ballon à cette distance :
$y(9,15) = -0,0163 \times (9,15)^2 + 0,577 \times 9,15$
$y(9,15) = -1,365 + 5,279 \approx 3,91 \text{ m}$.
Puisque $3,91 \text{ m} > 1,80 \text{ m}$ (hauteur du mur), le ballon passe largement au-dessus du mur.

3 Tir cadré : La ligne de but est à $x = 25 \text{ m}$. Calculons l'altitude du ballon à ce point :
$y(25) = -0,0163 \times (25)^2 + 0,577 \times 25$
$y(25) = -10,187 + 14,425 \approx 4,23 \text{ m}$.
Puisque $4,23 \text{ m} > 2,44 \text{ m}$ (hauteur de la barre), le ballon passe au-dessus des buts. Le tir n'est pas cadré.

4 La Portée : La distance où le ballon touche le sol ($y = 0$).
Formule directe : $x_P = \frac{V_0^2 \sin(2\alpha)}{g} = \frac{400 \times \sin(60^\circ)}{9,8} = \frac{400 \times 0,866}{9,8} \approx 35,35 \text{ m}$.

Exercice 2 : L'intervention de la protection civile

Pour éteindre un feu au 2ème étage d'un immeuble, un pompier utilise une lance à eau. L'embout de la lance (origine du repère $O$) est situé au niveau du sol ($y_0 = 0$). L'eau est projetée avec un angle $\alpha = 45^\circ$ par rapport à l'horizontale. La fenêtre cible se trouve à une hauteur $H = 8 \text{ m}$ et à une distance horizontale $D = 15 \text{ m}$ du pompier.

On prendra $g = 10 \text{ m/s}^2$ pour simplifier les calculs.

jet d'eau
La trajectoire du l'eau dépend strictement de la vitesse initiale et de l'angle de jet d'eau.

Questions :

  • 1 Quelle doit être la valeur de la vitesse initiale $V_0$ de l'eau pour que le jet atteigne exactement la fenêtre cible (coordonnées $x=15$, $y=8$) ?
  • 2 Avec cette vitesse $V_0$, quelle sera la hauteur maximale (la flèche) atteinte par le jet d'eau ?
Voir la solution 2
Attention. Dans ce type de problème "inversé", vous connaissez un point de passage $(x, y)$. En injectant ces coordonnées dans l'équation de la trajectoire, la seule inconnue restante sera $V_0$. Il suffit de l'isoler.

1 On écrit l'équation de la trajectoire :
$y(x) = -\frac{g}{2 V_0^2 \cos^2\alpha} x^2 + x \tan\alpha$
Le jet doit passer par le point cible $C(x=15 \text{ m}, y=8 \text{ m})$.
On sait que $\alpha = 45^\circ$, donc $\tan(45^\circ) = 1$ et $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, donc $\cos^2(45^\circ) = 0,5$.
L'équation devient :
$8 = -\frac{10}{2 \cdot V_0^2 \cdot 0,5} \cdot (15)^2 + 15 \cdot 1$
$8 = -\frac{10}{V_0^2} \cdot 225 + 15$
On isole le terme contenant la vitesse :
$\frac{2250}{V_0^2} = 15 - 8 = 7$
$V_0^2 = \frac{2250}{7} \approx 321,43$

$V_0 = \sqrt{321,43} \approx 17,9 \text{ m/s}$
.

2 Hauteur maximale (Flèche) avec cette vitesse $V_0 = 17,9 \text{ m/s}$ :
Formule de la flèche : $y_F = \frac{V_0^2 \sin^2\alpha}{2g}$
On sait que $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, donc $\sin^2(45^\circ) = 0,5$. Et $V_0^2 = 321,43$.
$y_F = \frac{321,43 \times 0,5}{2 \times 10} = \frac{160,715}{20} \approx 8,03 \text{ m}$.
Le jet d'eau atteint sa hauteur maximale (8,03 m) presque exactement au niveau de la fenêtre (8 m). Le pompier optimise parfaitement la portée de son jet !

6. QCM : 30 questions

7. Fiches d'expériences

Pour les enseignants et pour préparer les travaux pratiques.

Lancement d'une balle

Identification

Partie Physique Unité Mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur
Titre Étude de la trajectoire parabolique d'un projectile
Durée 35 minutes

Cadre pédagogique

Objectifs de l'expérience Précautions et orientations Conseils techniques
  • Mettre en évidence la forme de la trajectoire d'un projectile.
  • Comprendre le concept de chute libre (seul le Poids agit).
  • Décomposer le mouvement selon les axes (Ox) et (Oy).
  • Lancer la balle strictement dans le plan perpendiculaire à l'axe de la caméra.
  • S'assurer d'un fond contrasté pour faciliter le pointage vidéo.
  • Placer une règle graduée visible dans le champ pour étalonner les distances.
  • Fixer la caméra sur un trépied pour éviter tout tremblement de l'image.

Dispositif expérimental

Schématisation du modèle
Conditions initiales ($V_0$ et $\alpha$)
Action du Poids sur le projectile
Matériel et Logiciels Balle colorée, caméra numérique, trépied, règle étalon, ordinateur avec logiciel d'analyse vidéo et de pointage (ex: Aviméca, Regressi ou Tracker).

Déroulement et exploitation

Étapes expérimentales Questions de l'activité Résultats attendus Réponses & Conclusions
1. Réaliser l'enregistrement vidéo du lancer de la balle avec un angle $\alpha$ vers le haut. 1. Comment appelle-t-on la forme mathématique de la trajectoire observée à l'écran ? Les points successifs forment une courbe symétrique en cloche. La courbe décrite par le centre d'inertie de la balle est une parabole.
2. Effectuer l'étalonnage, placer le repère (O,x,y) à l'origine du lancer, et pointer les positions. 2. Si on néglige la résistance de l'air, à quelle force unique la balle est-elle soumise ? Mouvement décomposé : uniforme sur l'axe (Ox), et varié sur l'axe (Oy). La balle n'est soumise qu'à la force d'attraction terrestre : son Poids ($\vec{P}$). C'est une chute libre.

Bilan et évaluation

Bilan de l'expérience
L'analyse vidéo d'un lancer de balle montre que le mouvement d'un projectile, lancé avec une vitesse initiale oblique et soumis uniquement à la pesanteur (frottements négligés), décrit une trajectoire plane et parabolique. Son accélération est constante et strictement égale au vecteur pesanteur ($\vec{a}_G = \vec{g}$).
Questions d'évaluation
Q1. Comment évolue la composante horizontale de la vitesse ($V_x$) durant le vol ? Q2. L'accélération de la balle dépend-elle de sa masse ? Justifier par la 2ème loi de Newton. Q3. Quelle est la valeur de la vitesse verticale ($V_y$) lorsque la balle atteint son altitude maximale (la flèche) ?

8. Documents à télécharger