Document : Situation de départ

Lors d'un match de football de la Botola Pro, un joueur doit tirer un coup franc décisif à 25 mètres des buts adverses. Un "mur" de défenseurs (hauteur 1,80 m) est placé à 9,15 m du ballon. Le joueur souhaite lober le mur tout en cadrant son tir sous la barre transversale. Ailleurs, lors d'un incendie dans une zone inaccessible, la protection civile doit projeter de l'eau avec une lance à une certaine distance sans s'approcher trop près du foyer.

Comment, en ajustant uniquement la vitesse initiale et l'angle de tir, peut-on contrôler avec précision le point d'impact (portée) et la hauteur maximale atteinte (flèche) par le projectile ?

Activité expérimentale : Lancement d'une balle

On lance une balle avec une vitesse initiale $\overrightarrow{V}_0$ formant un angle $\alpha$ avec l'horizontale. À l'aide d'une caméra et d'un logiciel de traitement vidéo (comme Aviméca ou Regressi), on enregistre les positions successives du centre d'inertie de la balle. L'analyse montre que la balle décrit une courbe dans un plan vertical.

Questions :

Exercice 1 : Le Coup Franc décisif

Lors d'un match de football, un joueur tire un coup franc direct. Le ballon (assimilé à un point matériel) quitte le sol à l'origine $O$ avec une vitesse initiale $V_0 = 20 \text{ m/s}$ formant un angle $\alpha = 30^\circ$ avec l'horizontale. À une distance $D = 9,15 \text{ m}$ se dresse un "mur" de joueurs adverses de hauteur $h_{mur} = 1,80 \text{ m}$. Le but adverse se trouve à une distance $L = 25 \text{ m}$ du point de tir, et la barre transversale est à une hauteur $H_{but} = 2,44 \text{ m}$.

On néglige l'action de l'air et on prend $g = 9,8 \text{ m/s}^2$.

Questions :

• 1 Établir l'équation de la trajectoire $y(x)$ du ballon dans le repère $(O, x, y)$.
• 2 Le ballon réussit-il à passer au-dessus du mur de défenseurs ? Justifier par le calcul.
• 3 Le tir est-il cadré ? (C'est-à-dire, le ballon passe-t-il sous la barre transversale lorsqu'il arrive au niveau de la ligne de but ?)
• 4 À quelle distance exacte le ballon touchera-t-il le sol s'il n'est intercepté par personne (Portée) ?

Exercice 2 : L'intervention de la protection civile

Pour éteindre un feu au 2ème étage d'un immeuble, un pompier utilise une lance à eau. L'embout de la lance (origine du repère $O$) est situé au niveau du sol ($y_0 = 0$). L'eau est projetée avec un angle $\alpha = 45^\circ$ par rapport à l'horizontale. La fenêtre cible se trouve à une hauteur $H = 8 \text{ m}$ et à une distance horizontale $D = 15 \text{ m}$ du pompier.

On prendra $g = 10 \text{ m/s}^2$ pour simplifier les calculs.

Questions :

• 1 Quelle doit être la valeur de la vitesse initiale $V_0$ de l'eau pour que le jet atteigne exactement la fenêtre cible (coordonnées $x=15$, $y=8$) ?
• 2 Avec cette vitesse $V_0$, quelle sera la hauteur maximale (la flèche) atteinte par le jet d'eau ?