Mouvement d'un solide sur un plan

Objectifs pédagogiques

• Savoir faire le bilan des forces appliquées sur un solide en mouvement.
• Appliquer la deuxième loi de Newton pour déterminer le vecteur accélération $\overrightarrow{a}_G$.
• Établir les équations horaires du mouvement sur un plan horizontal et incliné.
• Comprendre et modéliser l'effet des forces de frottement.
• Étudier le mouvement d'un solide sur une piste circulaire en utilisant le repère de Frenet.

Compétences visées

• Exploiter le principe fondamental de la dynamique dans diverses situations géométriques.
• Projeter rigoureusement des vecteurs forces sur des axes cartésiens et normaux.

Vérifiez vos prérequis

Énoncez la deuxième loi de Newton.

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de sa masse par le vecteur accélération :

$$ \sum \overrightarrow{F}_{ext} = m \cdot \overrightarrow{a}_G $$

Comment décompose-t-on la réaction $\overrightarrow{R}$ d'un support lorsqu'il y a des frottements ?

La réaction $\overrightarrow{R}$ se décompose en une composante normale $\overrightarrow{R}_N$ (perpendiculaire au support) et une composante tangentielle $\overrightarrow{f}$ (force de frottement, opposée au mouvement) :

$$ \overrightarrow{R} = \overrightarrow{R}_N + \overrightarrow{f} $$

Qu'est-ce que le repère de Frenet ?

C'est un repère local $(M, \overrightarrow{u}, \overrightarrow{n})$ lié au mobile. $\overrightarrow{u}$ est tangent à la trajectoire, et $\overrightarrow{n}$ est normal et dirigé vers le centre de courbure.

Quel est le lien entre la vitesse et l'accélération ?

L'accélération est la dérivée temporelle du vecteur vitesse :

$$ \overrightarrow{a} = \frac{d\overrightarrow{v}}{dt} $$

Situation de départ

Dans une zone logistique portuaire (ex. Tanger Med) ou sur un chantier de construction, les opérateurs déplacent des caisses lourdes. Parfois, ils les poussent sur le sol plat (quai), parfois ils utilisent une rampe inclinée pour charger les camions. Ils remarquent que sur le plan horizontal, dès qu'ils arrêtent de pousser, la caisse s'arrête vite. Sur la rampe, il faut fournir un effort supplémentaire pour mounting, mais attention à la descente : la caisse peut accélérer dangereusement.

Comment prévoir l'accélération de la caisse dans ces deux situations ? Quel est le rôle exact de l'inclinaison et de la rugosité du sol (frottements) dans l'équation du mouvement ?

1. Mouvement d'un corps sur un plan horizontal

Cas d'un mouvement sans frottement

On suppose que le contact entre le solide et le plan est parfaitement lisse. La réaction $\overrightarrow{R}$ est donc strictement perpendiculaire au plan horizontal.

Appliquons la deuxième loi de Newton :

$$ \sum \overrightarrow{F}_{ext} = m \cdot \overrightarrow{a}_G \implies \overrightarrow{P} + \overrightarrow{R} + \overrightarrow{F} = m \cdot \overrightarrow{a}_G $$

Projetons cette équation vectorielle sur les axes du repère $(O, x, y)$ :

• Sur l'axe (Oy) : $-P + R + 0 = m \cdot a_y$. Or, il n'y a pas de mouvement vertical, donc $a_y = 0$. On en déduit que $R = P = m \cdot g$.
• Sur l'axe (Ox) : $0 + 0 + F = m \cdot a_x$. On en déduit l'accélération $a_x = a$ :

L'accélération est constante. Le mouvement est rectiligne uniformément varié.

Par intégration, on trouve la vitesse :

Par intégration, on trouve la position :

Cas d'un mouvement avec frottement

Si le contact est rugueux, la réaction $\overrightarrow{R}$ n'est plus perpendiculaire. Elle s'incline dans le sens opposé au mouvement et se décompose en $\overrightarrow{R}_N$ (normale) et $\overrightarrow{f}$ (frottement tangentiel).

La relation de Newton reste : $\overrightarrow{P} + \overrightarrow{R}_N + \overrightarrow{f} + \overrightarrow{F} = m \cdot \overrightarrow{a}_G$

Projection sur l'axe (Ox) dans le sens du mouvement :

$$ 0 + 0 - f + F = m \cdot a_x $$

On définit le coefficient de frottement $k = \tan(\varphi) = \frac{f}{R_N}$, où $\varphi$ est l'angle de frottement.

2. Mouvement d'un corps sur un plan incliné

Cas d'un mouvement sans frottement

Le solide descend librement. La réaction $\overrightarrow{R}$ est perpendiculaire au plan incliné.

Deuxième loi de Newton : $\overrightarrow{P} + \overrightarrow{R} = m \cdot \overrightarrow{a}_G$

Projection sur l'axe (Ox) parallèle au plan incliné :

$$ P_x + R_x = m \cdot a_x \implies m \cdot g \cdot \sin(\alpha) + 0 = m \cdot a $$

En simplifiant par la masse $m$, on trouve l'accélération :

L'accélération est strictement constante et indépendante de la masse du solide ! Le mouvement est rectiligne uniformément accéléré.

Cas d'un mouvement avec frottement

Si la surface est rugueuse, une force de frottement $\overrightarrow{f}$ s'oppose au mouvement du solide vers le bas.

Deuxième loi de Newton : $\overrightarrow{P} + \overrightarrow{R}_N + \overrightarrow{f} = m \cdot \overrightarrow{a}_G$

Projection sur (Ox) :

$$ P_x + 0 - f = m \cdot a \implies m \cdot g \cdot \sin(\alpha) - f = m \cdot a $$

Projection sur (Oy) (pour trouver $R_N$ si nécessaire) :

$$ -P_y + R_N = 0 \implies -m \cdot g \cdot \cos(\alpha) + R_N = 0 \implies R_N = m \cdot g \cdot \cos(\alpha) $$

3. Mouvement d'un solide sur une piste circulaire

Cas d'un mouvement sans frottement

Le solide est repéré par l'angle $\theta$ par rapport à la verticale. Il est soumis à son Poids $\overrightarrow{P}$ et à la réaction normale de la piste $\overrightarrow{R}$ (qui est portée intégralement par le vecteur $\overrightarrow{n}$ car il n'y a pas de frottement).

Deuxième loi de Newton : $\overrightarrow{P} + \overrightarrow{R} = m \cdot \overrightarrow{a}$

Projection sur l'axe normal $\overrightarrow{n}$ :

L'accélération normale est $a_n = \frac{v^2}{r}$. La projection du Poids dépend de sa position (géométrie). Par exemple, si l'angle $\theta$ est défini par rapport à la verticale ascendante :

$$ P_n + R_n = m \cdot a_n \implies -m \cdot g \cdot \cos(\theta) + R = m \frac{v^2}{r} $$

Projection sur l'axe tangentiel $\overrightarrow{u}$ :

L'accélération tangentielle est $a_t = \frac{dv}{dt}$. La réaction $\overrightarrow{R}$ n'a aucune composante sur cet axe.

$$ P_t + 0 = m \cdot a_t \implies m \cdot g \cdot \sin(\theta) = m \frac{dv}{dt} \implies a_t = g \cdot \sin(\theta) $$

Cas d'un mouvement avec frottement

Si la piste présente des frottements, la réaction s'incline par rapport à la normale. Elle se décompose en $\overrightarrow{R}_N$ (sur l'axe $\overrightarrow{n}$) et $\overrightarrow{f}$ (sur l'axe $\overrightarrow{u}$, opposée au mouvement).

Projection sur l'axe tangentiel $\overrightarrow{u}$ :

$$ P_t - f = m \cdot a_t \implies m \cdot g \cdot \sin(\theta) - f = m \frac{dv}{dt} $$

Projection sur l'axe normal $\overrightarrow{n}$ :

$$ P_n + R_N = m \cdot a_n \implies -m \cdot g \cdot \cos(\theta) + R_N = m \frac{v^2}{r} $$

4. Applications dans la vie réelle

Recherche d'approfondissement

5. Exercices corrigés

Exercice global : parcours multi-sections

Un solide (S) de masse $m = 0,5 \text{ kg}$ est lâché sans vitesse initiale du point A. Il glisse d'abord sur un plan incliné AB d'un angle $\alpha = 30^\circ$ par rapport à l'horizontale. Ensuite, il aborde une piste horizontale BC, et termine sa course sur une piste circulaire CD de rayon $r = 2 \text{ m}$ et de centre O'.

Partie 1 : Le plan incliné AB (Sans frottement)

La longueur AB est $L = 5 \text{ m}$. Les frottements sont négligés. $g = 10 \text{ m/s}^2$.

• 1 Faire le bilan des forces exercées sur (S) sur le trajet AB.
• 2 Appliquer la 2ème loi de Newton pour exprimer l'accélération $a_1$ de (S).
• 3 Calculer la valeur de l'accélération $a_1$.
• 4 Par intégration, trouver la vitesse du solide au point B ($v_B$).

Partie 2 : Le plan horizontal BC (Avec frottements)

Le solide arrive en B avec la vitesse $v_B$ calculée. Sur la piste BC, il subit une force de frottement constante $\overrightarrow{f}$ d'intensité $f = 1,5 \text{ N}$. La distance BC est $D = 4 \text{ m}$.

• 5 Faire le bilan des forces sur (S) sur la portion BC.
• 6 Établir l'expression de la nouvelle accélération $a_2$ et calculer sa valeur. Le mouvement est-il accéléré ou retardé ?
• 7 En utilisant la relation indépendante du temps, calculer la vitesse $v_C$ du solide au point C.

Partie 3 : La piste circulaire CD (Sans frottement)

Le solide entre en C avec la vitesse $v_C$ sur la piste circulaire verticale. Un point M sur la piste est repéré par l'angle $\theta$ avec la verticale. On néglige les frottements sur cette partie.

• 8 Représenter les forces sur (S) au point M dans la base de Frenet.
• 9 Appliquer la loi de Newton et la projeter sur la normale $\overrightarrow{n}$ pour exprimer la réaction $\overrightarrow{R}$ de la piste.
• 10 Quelle condition mathématique sur la vitesse $v$ faut-il respecter pour que le solide ne quitte pas la piste au sommet D ($\theta=0$) ?

Voir la solution Globale

Attention. Sur la partie BC, l'accélération trouvée doit être négative car le solide perd de la vitesse à cause des frottements. Prenez garde aux signes lors de l'application de la relation $v^2 - v_0^2 = 2ax$.

Solution Partie 1 :

1 Bilan sur AB : Le poids $\overrightarrow{P}$ et la réaction du plan $\overrightarrow{R}$ (perpendiculaire au plan car sans frottement).

2 Newton : $\overrightarrow{P} + \overrightarrow{R} = m \cdot \overrightarrow{a}_1$. En projetant sur l'axe (Ax) parallèle au plan : $P_x + 0 = m \cdot a_1 \implies m \cdot g \cdot \sin(\alpha) = m \cdot a_1 \implies a_1 = g \cdot \sin(\alpha)$.

3 Calcul de $a_1 = 10 \times \sin(30^\circ) = 10 \times 0,5 = 5 \text{ m/s}^2$.

4 Par intégration, on trouve l'équation de la vitesse et de la position. Ou plus rapidement avec la relation : $v_B^2 - v_A^2 = 2 \cdot a_1 \cdot AB$. Or $v_A = 0$. Donc $v_B = \sqrt{2 \times 5 \times 5} = \sqrt{50} \approx 7,07 \text{ m/s}$.

Solution Partie 2 :

5 Bilan sur BC : Poids $\overrightarrow{P}$, Réaction normale $\overrightarrow{R}_N$, force de frottement $\overrightarrow{f}$.

6 Newton : $\overrightarrow{P} + \overrightarrow{R}_N + \overrightarrow{f} = m \cdot \overrightarrow{a}_2$. Projection sur (Bx) horizontal : $0 + 0 - f = m \cdot a_2 \implies a_2 = -\frac{f}{m}$.
$a_2 = -\frac{1,5}{0,5} = -3 \text{ m/s}^2$. Le mouvement est retardé (décéléré) car l'accélération est de signe opposé à la vitesse.

7 Relation : $v_C^2 - v_B^2 = 2 \cdot a_2 \cdot BC \implies v_C^2 = v_B^2 + 2 \cdot a_2 \cdot D$.
$v_C^2 = 50 + 2 \times (-3) \times 4 = 50 - 24 = 26 \implies v_C = \sqrt{26} \approx 5,1 \text{ m/s}$.

Attention. Dans la base de Frenet, la composante radiale de $\overrightarrow{P}$ change de signe selon qu'on est en bas ou en haut de la piste. Dessinez toujours votre vecteur normal $\overrightarrow{n}$ vers le centre !

Solution Partie 3 :

8 En M : $\overrightarrow{P}$ vertical vers le bas. $\overrightarrow{R}$ normale à la piste, pointant vers le centre O' (car sans frottement).

9 PFD : $\overrightarrow{P} + \overrightarrow{R} = m \cdot \overrightarrow{a}$. On projette sur l'axe normal $\overrightarrow{n}$ (dirigé vers O') :
$m \cdot g \cdot \cos(\theta) + R = m \cdot a_n = m \frac{v^2}{r}$.
L'expression de la réaction est donc : $R = m \left( \frac{v^2}{r} - g \cdot \cos(\theta) \right)$.

10 Pour que le solide ne quitte pas la piste au sommet D ($\theta = 0^\circ \implies \cos(0)=1$), le contact physique doit être maintenu, ce qui signifie que la piste doit continuer à exercer une poussée sur le solide. La condition mathématique stricte est $R \ge 0$.
$P_n + R_n = m a_n \implies mg + R = m v^2/r \implies R = m(v^2/r - g) \ge 0 \implies v^2 \ge g \cdot r$.

6. QCM : 30 questions

7. Fiches d'expériences

Pour les enseignants et pour préparer les travaux pratiques.

8. Documents à télécharger

• Supports imprimables : activités, exercices et figures

  Version à imprimer
  Voir