Les supports didactiques imprimés de la leçon : Mouvement d'un solide sur un plan
Activités de la leçon
Document : Situation de départ
La manutention de charges lourdes implique de maîtriser parfaitement les forces de poussée et de frottement sur divers plans.
Dans une zone logistique portuaire (ex. Tanger Med) ou sur un chantier de construction, les opérateurs déplacent des caisses lourdes. Parfois, ils les poussent sur le sol plat (quai), parfois ils utilisent une rampe inclinée pour charger les camions. Ils remarquent que sur le plan horizontal, dès qu'ils arrêtent de pousser, la caisse s'arrête vite. Sur la rampe, il faut fournir un effort supplémentaire pour mounting, mais attention à la descente : la caisse peut accélérer dangereusement.
Comment prévoir l'accélération de la caisse dans ces deux situations ? Quel est le rôle exact de l'inclinaison et de la rugosité du sol (frottements) dans l'équation du mouvement ?
Activité expérimentale : La caisse sur le quai
Un solide de masse $m$ est posé sur une table horizontale. On le tire à l'aide d'un fil exerçant une force constante $\overrightarrow{F}$ parallèle au plan. On étudie son mouvement dans un repère $(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$.
Questions :
1 Quelles sont toutes les forces extérieures qui s'exercent sur le solide au cours de son mouvement ? 2 Pourquoi le solide ne s'envole-t-il pas ni ne s'enfonce-t-il dans la table ?
Activité expérimentale : La rampe de chargement
On lâche un solide de masse $m$ sans vitesse initiale du sommet d'un plan incliné d'un angle $\alpha$ par rapport à l'horizontale. On choisit un repère $(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ tel que l'axe (Ox) soit parallèle à la ligne de plus grande pente et dirigé vers le bas.
Questions :
1 Quelle est la force responsable de la descente du solide ? 2 Que devient la valeur de l'accélération si on augmente l'angle d'inclinaison $\alpha$ ?
Activité documentaire : Le looping
Un solide (assimilé à un point matériel) glisse sur une portion de piste de forme circulaire de rayon $r$ et de centre $C$. Pour analyser son mouvement à chaque instant, il est très peu pratique d'utiliser le repère cartésien $(O,x,y)$ car les projections des forces changent d'angle en permanence. On utilise donc la base de Frenet $(M, \overrightarrow{u}, \overrightarrow{n})$.
Questions :
1 Pourquoi la base de Frenet est-elle plus adaptée à ce mouvement ? 2 Dans quelle direction pointe toujours le vecteur $\overrightarrow{n}$ ?
Exercices d'application
Exercice Global : Parcours multi-sections
Un solide (S) de masse $m = 0,5 \text{ kg}$ est lâché sans vitesse initiale du point A. Il glisse d'abord sur un plan incliné AB d'un angle $\alpha = 30^\circ$ par rapport à l'horizontale. Ensuite, il aborde une piste horizontale BC, et termine sa course sur une piste circulaire CD de rayon $r = 2 \text{ m}$ et de centre O'.
Partie 1 : Le plan incliné AB (Sans frottement)
La longueur AB est $L = 5 \text{ m}$. Les frottements sont négligés. $g = 10 \text{ m/s}^2$.
1 Faire le bilan des forces exercées sur (S) sur le trajet AB.
2 Appliquer la 2ème loi de Newton pour exprimer l'accélération $a_1$ de (S).
3 Calculer la valeur de l'accélération $a_1$.
4 Par intégration, trouver la vitesse du solide au point B ($v_B$).
Partie 2 : Le plan horizontal BC (Avec frottements)
Le solide arrive en B avec la vitesse $v_B$ calculée. Sur la piste BC, il subit une force de frottement constante $\overrightarrow{f}$ d'intensité $f = 1,5 \text{ N}$. La distance BC est $D = 4 \text{ m}$.
5 Faire le bilan des forces sur (S) sur la portion BC.
6 Établir l'expression de la nouvelle accélération $a_2$ et calculer sa valeur. Le mouvement est-il accéléré ou retardé ?
7 En utilisant la relation indépendante du temps, calculer la vitesse $v_C$ du solide au point C.
Partie 3 : La piste circulaire CD (Sans frottement)
Le solide entre en C avec la vitesse $v_C$ sur la piste circulaire verticale. Un point M sur la piste est repéré par l'angle $\theta$ avec la verticale. On néglige les frottements sur cette partie.
8 Représenter les forces sur (S) au point M dans la base de Frenet.
9 Appliquer la loi de Newton et la projeter sur la normale $\overrightarrow{n}$ pour exprimer la réaction $\overrightarrow{R}$ de la piste.
10 Quelle condition mathématique sur la vitesse $v$ faut-il respecter pour que le solide ne quitte pas la piste au sommet D ($\theta=0$) ?
FIGURES de la leçon
Bilan des forces sur un plan horizontal parfaitement lisse ($\overrightarrow{R}$ est verticale).La réaction $\overrightarrow{R}$ s'incline en arrière. Elle est la somme vectorielle de $\overrightarrow{R}_N$ et $\overrightarrow{f}$.La projection du Poids $\overrightarrow{P}$ génère une composante motrice $P_x = m \cdot g \cdot \sin(\alpha)$.Dans la base de Frenet, $\overrightarrow{R}$ est colinéaire à $\overrightarrow{n}$ en l'absence de frottement.La force de frottement $\overrightarrow{f}$ s'ajoute sur l'axe tangentiel $\overrightarrow{u}$.La mécanique des plans inclinés et circulaires régit le design des circuits automobiles modernes.
