Les oscillations libres dans un circuit RLC série

Pour 2BAC PC 2BAC SVT 2BAC SM Mis à jour le 15 octobre 2026

Objectifs pédagogiques

  • Connaître les différents régimes d'oscillations libres dans un circuit RLC série.
  • Établir l'équation différentielle pour la tension $u_C$ ou la charge $q$ dans le cas d'un amortissement négligeable (circuit LC idéal).
  • Connaître l'expression de la période propre $T_0$ et savoir l'utiliser.
  • Expliquer, d'un point de vue énergétique, l'amortissement des oscillations.
  • Comprendre le rôle du dispositif d'entretien des oscillations.

Compétences visées

  • Exploiter des oscillogrammes pour déterminer la pseudo-période ou la période propre.
  • Réaliser une démonstration détaillée de la conservation ou de la dissipation de l'énergie.
  • Tracer et interpréter l'évolution des différentes formes d'énergie au cours du temps.

Vérifiez vos prérequis

Quelles sont les relations caractéristiques d'un condensateur ? La charge est $q = C \cdot u_C$. L'intensité du courant en convention récepteur est $i = \frac{dq}{dt} = C \frac{du_C}{dt}$.
Quelle est l'expression de la tension aux bornes d'une bobine réelle ? La tension aux bornes d'une bobine (d'inductance $L$ et de résistance $r$) est $u_L = r \cdot i + L \frac{di}{dt}$.
Comment s'exprime l'énergie emmagasinée dans un condensateur ? L'énergie électrique stockée est $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2 = \frac{1}{2} \frac{q^2}{C}$.
Comment s'exprime l'énergie emmagasinée dans une bobine ? L'énergie magnétique stockée est $E_m = \frac{1}{2} L i^2$.
Qu'est-ce que la période et la fréquence d'un signal périodique ? La période $T$ (en secondes) est la plus petite durée au bout de laquelle le signal se reproduit identique à lui-même. La fréquence $f = \frac{1}{T}$ (en Hertz) est le nombre de périodes par seconde.

Situation de départ

Dans le cadre d'un concours national d'innovation, un groupe d'élèves ingénieurs souhaite concevoir une balise de détresse pour les randonneurs dans les zones montagneuses isolées (Haut Atlas). Pour émettre un signal radio continu détectable par les secours, ils ont besoin d'ondes sinusoïdales stables. Cependant, en testant leur circuit RLC prototype, ils constatent que le signal s'affaiblit progressivement jusqu'à disparaître.

Problème : Quelle est la cause de cette perte de signal (amortissement) ? Comment peut-on compenser ces pertes énergétiques pour maintenir le fonctionnement continu de la balise (entretien des oscillations) ?

Balise de détresse émettant des ondes radio
La génération d'un signal radio stable nécessite des oscillations électriques non amorties.

1. Décharge d'un condensateur dans une bobine (Circuit RLC)

Expérience : Charge du condensateur puis décharge dans un circuit RLC

Activité expérimentale

Activité expérimentale : Les régimes d'oscillations

On réalise le montage schématisé ci-dessous comportant : un générateur idéal de tension $E$, un condensateur de capacité $C$, une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r$, un conducteur ohmique de résistance variable $R'$ et un commutateur à double position.

Schéma du circuit RLC avec commutateur
Circuit RLC série. (Position 1 : Charge, Position 2 : Décharge et Oscillations).

Questions :

1 Quel est le but de placer d'abord l'interrupteur en position 1 ?

2 On bascule l'interrupteur en position 2. La résistance totale du circuit est $R = R' + r$. Observer l'évolution de la tension $u_C(t)$ pour une faible valeur de $R$. Comment appelle-t-on le temps séparant deux crêtes maximales successives ?

3 On augmente progressivement la valeur de la résistance $R'$. Décrire ce qui arrive au signal.

4 Quelle est la cause physique fondamentale de l'apparition de ces oscillations électriques dans le circuit ?

Voir les réponses

1 L'interrupteur en position 1 permet de charger totalement le condensateur afin d'emmagasiner de l'énergie électrique initiale ($u_C = E$).

2 En position 2 (décharge dans la bobine et la résistance), si la résistance est faible, la tension $u_C(t)$ oscille en changeant de signe, mais son amplitude diminue progressivement. C'est un régime oscillatoire amorti. La durée séparant deux sommets successifs s'appelle la pseudo-période $T$.

3 Lorsqu'on augmente fortement $R'$, l'amortissement devient si important que le signal ne parvient même plus à osciller. La tension chute directement vers zéro sans dépasser l'axe des abscisses. Les oscillations disparaissent.

4 Cause des oscillations : Lors de la décharge, un courant s'établit. La bobine s'oppose à la variation de ce courant et emmagasine de l'énergie magnétique. Lorsque le condensateur est vide, la bobine force le courant à continuer, ce qui recharge le condensateur en sens inverse. C'est cet échange mutuel et continu d'énergie entre le condensateur (énergie électrique) et la bobine (énergie magnétique) qui génère les oscillations.

Les régimes d'oscillations

La réponse d'un circuit RLC série dépend fortement de la valeur de la résistance totale $R$ du circuit ($R = R' + r$). On distingue trois régimes principaux :

  • Le régime pseudo-périodique : Obtenu pour des valeurs faibles de la résistance $R$. La tension $u_C(t)$ présente des oscillations dont l'amplitude diminue progressivement au cours du temps (Amortissement). L'intervalle de temps entre deux maxima consécutifs est appelé pseudo-période $T$.
Régime pseudo-périodique montrant un amortissement progressif
Régime pseudo-périodique (Faible amortissement).
  • Le régime apériodique : Obtenu pour des valeurs élevées de la résistance $R$. L'amortissement est tellement fort que le condensateur se décharge sans aucune oscillation. La tension $u_C$ tend vers zéro de manière exponentielle.
Régime apériodique montrant une chute directe vers zéro sans oscillation
Régime apériodique (Fort amortissement).
  • Le régime critique : C'est la limite exacte entre les deux régimes précédents, obtenue pour une résistance critique $R = R_C$. Le condensateur se décharge le plus rapidement possible sans osciller.
Régime critique, la chute la plus rapide vers zéro
Régime critique (Amortissement critique).
  • Le régime périodique (Cas idéal) : Si la résistance du circuit est nulle ($R = 0$). il n'y a aucune perte d'énergie. Les oscillations sont sinusoïdales et leur amplitude reste constante. La durée d'une oscillation est la période propre $T_0$.
Régime périodique idéal, oscillations sinusoïdales pures
Régime périodique idéal (Amortissement nul).

Testez-vous

Quel paramètre du circuit est responsable de l'amortissement des oscillations ?

Comment s'appelle la durée entre deux sommets successifs dans un régime où l'amplitude diminue ?

Dans quel régime la tension $u_C$ chute-t-elle vers zéro sans jamais changer de signe ni osciller, mais très lentement ?

2. Étude théorique et énergétique

Le circuit LC idéal (Amortissement négligeable)

On considère un condensateur de capacité $C$ (initialement chargé sous une tension $E$) qui se décharge dans une bobine idéale d'inductance $L$ (résistance interne $r=0$). La résistance totale du circuit est nulle ($R=0$).

Schéma d'un circuit LC idéal sans aucune résistance
Circuit LC idéal : Aucune résistance, aucune perte d'énergie.

a. Équation différentielle vérifiée par $u_C$ :

En appliquant la loi d'additivité des tensions dans la maille fermée :

$u_L + u_C = 0$

Puisque la bobine est idéale ($r=0$), $u_L = L \frac{di}{dt}$. L'équation devient : $L \frac{di}{dt} + u_C = 0$.

Or, l'intensité $i = \frac{dq}{dt} = C \frac{du_C}{dt}$.
La dérivée de l'intensité par rapport au temps est la dérivée seconde de la charge : $\frac{di}{dt} = C \frac{d^2u_C}{dt^2}$.

En remplaçant $\frac{di}{dt}$ dans l'équation, on obtient l'équation différentielle des oscillations libres non amorties :

$$L \cdot C \cdot \frac{d^2u_C}{dt^2} + u_C = 0 \quad \text{ou} \quad \frac{d^2u_C}{dt^2} + \frac{1}{L \cdot C} u_C = 0$$

b. Solution de l'équation (Tension, Charge, Courant) :

La solution mathématique de cette équation différentielle du second ordre est une fonction sinusoïdale de la forme :

$$u_C(t) = U_m \cos\left(\frac{2\pi}{T_0} t + \varphi\right)$$
  • $U_m$ : Amplitude maximale de la tension (en V).
  • $T_0$ : Période propre des oscillations (en s).
  • $\varphi$ : Phase à l'origine des temps (en rad), déterminée par les conditions initiales.

Les expressions de la charge $q(t)$ et de l'intensité $i(t)$ s'en déduisent par simple multiplication ou dérivation :

  • $q(t) = C \cdot u_C(t) = Q_m \cos(\frac{2\pi}{T_0} t + \varphi)$ avec $Q_m = C \cdot U_m$.
  • $i(t) = \frac{dq}{dt} = -Q_m \frac{2\pi}{T_0} \sin(\frac{2\pi}{T_0} t + \varphi) = -I_m \sin(\frac{2\pi}{T_0} t + \varphi)$ avec $I_m = Q_m \frac{2\pi}{T_0}$.
Évolution de la tension, de la charge et de l'intensité dans un circuit LC
L'intensité $i(t)$ est déphasée d'un quart de période ($\pi/2$) par rapport à $u_C(t)$ et $q(t)$.

c. Expression de la période propre $T_0$ (Démonstration) :

Vérifions que $u_C(t) = U_m \cos(\frac{2\pi}{T_0} t + \varphi)$ est bien solution de l'équation $\frac{d^2u_C}{dt^2} + \frac{1}{L \cdot C} u_C = 0$.

  • Dérivée première : $\frac{du_C}{dt} = - U_m \frac{2\pi}{T_0} \sin(\frac{2\pi}{T_0} t + \varphi)$
  • Dérivée seconde : $\frac{d^2u_C}{dt^2} = - U_m \left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 \cos(\frac{2\pi}{T_0} t + \varphi) = -\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 \cdot u_C(t)$

En remplaçant dans l'équation différentielle :

$-\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 \cdot u_C(t) + \frac{1}{L \cdot C} u_C(t) = 0 \implies u_C(t) \left[ \frac{1}{L \cdot C} - \left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 \right] = 0$

Pour que cette relation soit vraie à tout instant $t$, il faut obligatoirement que le terme entre crochets soit nul :

$\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 = \frac{1}{L \cdot C} \implies \frac{2\pi}{T_0} = \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$

$$T_0 = 2\pi \sqrt{L \cdot C}$$

d. Exploitation des conditions initiales :

Les constantes $U_m$ (amplitude) et $\varphi$ (phase à l'origine) sont déterminées exclusivement par l'état du circuit à l'instant $t=0$.

Cas / Conditions initiales à t=0 Détermination de l'amplitude $U_m$ et de la phase $\varphi$
Exemple 1 : Condensateur totalement chargé au départ.
$u_C(0) = E$
$i(0) = 0$ (pas de courant initial) 		$u_C(0) = U_m \cos(\varphi) = E$
$i(0) = -I_m \sin(\varphi) = 0 \implies \sin(\varphi) = 0 \implies \varphi = 0$ ou $\pi$.
Puisque $U_m > 0$ et $E > 0$, alors $\cos(\varphi) > 0 \implies \mathbf{\varphi = 0}$.
Et par conséquent : $\mathbf{U_m = E}$.
Exemple 2 : Condensateur vide, courant maximal positif.
$u_C(0) = 0$
$i(0) = I_0 > 0$ 		$u_C(0) = U_m \cos(\varphi) = 0 \implies \varphi = \frac{\pi}{2}$ ou $-\frac{\pi}{2}$.
$i(0) = -I_m \sin(\varphi) > 0 \implies \sin(\varphi) < 0 \implies \mathbf{\varphi = -\frac{\pi}{2}}$.
On sait que $I_m = U_m \cdot \frac{2\pi}{T_0}$, donc $I_0 = U_m \cdot \frac{2\pi}{T_0} \implies \mathbf{U_m = \frac{I_0 \cdot T_0}{2\pi}}$.

Étude énergétique du circuit LC idéal

L'énergie totale $E_T$ du circuit LC est la somme de l'énergie électrique emmagasinée dans le condensateur et de l'énergie magnétique emmagasinée dans la bobine :

$$E_T = E_e + E_m = \frac{1}{2} C \cdot u_C^2 + \frac{1}{2} L \cdot i^2$$

a. La conservation de l'énergie

Dérivons l'énergie totale par rapport au temps pour voir comment elle évolue :

$\frac{dE_T}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} C u_C^2\right) + \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} L i^2\right)$

$\frac{dE_T}{dt} = \frac{1}{2} C \left(2 u_C \frac{du_C}{dt}\right) + \frac{1}{2} L \left(2 i \frac{di}{dt}\right) = C u_C \frac{du_C}{dt} + L i \frac{di}{dt}$

Puisque $i = C \frac{du_C}{dt}$, on peut remplacer ce terme :

$\frac{dE_T}{dt} = u_C \cdot i + L i \frac{di}{dt} = i \left(u_C + L \frac{di}{dt}\right)$

Or, d'après la loi des mailles du circuit LC idéal, $u_C + L \frac{di}{dt} = 0$. Donc :

$$\frac{dE_T}{dt} = i \times 0 = 0$$

Puisque sa dérivée est strictement nulle, l'énergie totale $E_T$ du circuit LC est constante. Elle se conserve intégralement. Il y a un transfert mutuel et continuel d'énergie entre le condensateur et la bobine.

Courbes de conservation de l'énergie dans un circuit LC
Conservation de l'énergie en LC : $E_T$ est constante. Quand $E_e$ est max, $E_m$ est nulle et inversement.

Note énergétique importante : Puisque l'énergie totale $E_T$ se conserve dans ce circuit idéal, elle est égale à tout instant à la somme des deux énergies. Aux instants où l'intensité est nulle ($i=0$), l'énergie magnétique est nulle et l'énergie électrique est maximale. Inversement, quand $u_C=0$, l'énergie électrique est nulle et l'énergie magnétique est maximale. On a donc toujours :

$$E_T = E_{e,max} = \frac{1}{2} C \cdot U_m^2 = E_{m,max} = \frac{1}{2} L \cdot I_m^2$$
Attention. Remarque Importante :
la période des courbes d'énergie (notée $T_E$) est égale à la moitié de la période propre des oscillations électriques : $T_E = \frac{T_0}{2}$

b. Retrouver l'équation différentielle par l'étude énergétique :

Puisque nous savons que le système est conservatif, $\frac{dE_T}{dt} = 0$.
En reprenant le calcul de la dérivée : $i \left(u_C + L \frac{di}{dt}\right) = 0$.
Puisque l'intensité $i$ n'est pas toujours nulle, c'est le terme entre parenthèses qui doit être nul :
$u_C + L \frac{di}{dt} = 0$.
En remplaçant $i$ par $C \frac{du_C}{dt}$ et $\frac{di}{dt}$ par $C \frac{d^2u_C}{dt^2}$, on retrouve instantanément :

$$L \cdot C \cdot \frac{d^2u_C}{dt^2} + u_C = 0$$

Étude du circuit RLC réel (Amorti)

Dans la réalité, la résistance totale du circuit n'est jamais nulle ($R_t = R + r \neq 0$).

a. Équation différentielle :

La loi d'additivité donne $u_R + u_L + u_C = 0 \implies R_t \cdot i + L \frac{di}{dt} + u_C = 0$.
Ce qui donne l'équation différentielle d'un oscillateur amorti :

$$L \cdot C \frac{d^2u_C}{dt^2} + R_t \cdot C \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$$

Le terme intermédiaire $R_t \cdot C \frac{du_C}{dt}$ (qui est proportionnel à l'intensité) est responsable de l'amortissement du système.

b. Étude énergétique (Perte d'énergie) :

Dérivons l'énergie totale $E_T = \frac{1}{2} C u_C^2 + \frac{1}{2} L i^2$ par rapport au temps :
$\frac{dE_T}{dt} = i \left(u_C + L \frac{di}{dt}\right)$
Or, d'après la loi des mailles du circuit RLC, $u_C + L \frac{di}{dt} = -R_t \cdot i$.
En remplaçant, on obtient :

$$\frac{dE_T}{dt} = i \times (-R_t \cdot i) = -R_t \cdot i^2$$

Puisque $R_t > 0$ et $i^2 \ge 0$, la dérivée $\frac{dE_T}{dt}$ est négative. L'énergie totale du circuit RLC diminue au cours du temps. Cette perte irréversible d'énergie se fait sous forme de chaleur dans les résistances : c'est l'effet Joule.

Évolution de l'énergie dans un circuit RLC pseudo-périodique
Régime pseudo-périodique : L'énergie totale $E_T$ décroît par paliers (chutes d'énergie à chaque passage de courant maximal).

Détermination graphique de l'énergie dissipée par effet Joule :

La variation d'énergie entre deux instants $t_1$ et $t_2$ correspond à l'énergie dissipée par effet Joule sous forme de chaleur dans les résistances du circuit. Son expression est :

$$\Delta E = E_{dissipée} = E_T(t_2) - E_T(t_1) < 0$$

Graphiquement, il suffit de lire la valeur des crêtes de l'énergie totale (ou de l'énergie électrique aux instants où l'intensité s'annule) aux instants correspondants et d'en faire la différence.

Évolution de l'énergie dans un circuit RLC apériodique
Régime apériodique : Chute brutale de l'énergie totale sans aucune oscillation, toute l'énergie est rapidement dissipée en chaleur.

Testez-vous

Quelle est l'expression correcte de la période propre $T_0$ d'un circuit LC idéal ?

Que vaut la dérivée de l'énergie totale $\frac{dE_T}{dt}$ dans un circuit RLC (avec résistance) ?

Si la période propre des oscillations électriques $u_C(t)$ est $T_0 = 4 \text{ ms}$, quelle est la période des courbes de l'énergie $E_e$ et $E_m$ ?

3. Entretien des oscillations (maintenance)

Entretien des oscillations via un dipôle générateur

Principe de l'entretien

Dans un circuit RLC réel, les oscillations s'amortissent inévitablement. Pour remédier à ce problème (comme exigé dans notre situation de la balise radio), il faut compenser l'énergie perdue par effet Joule à chaque instant. On insère en série dans le circuit un composant électronique actif appelé Générateur d'entretien.

Ce dipôle générateur (souvent réalisé avec un Amplificateur Opérationnel) délivre une tension $u_G$ proportionnelle à l'intensité du courant qui le traverse :

$$u_G = k \cdot i$$

(avec $k$ un coefficient réglable positif, qui s'exprime en Ohm $\Omega$).

Schéma d'un circuit RLC avec générateur d'entretien ug = k.i
Circuit d'entretien : Le générateur compense exactement les pertes résistives.

Condition d'entretien

Appliquons la loi d'additivité des tensions pour la nouvelle maille :

$u_L + u_R + u_C = u_G$

Remplaçons chaque tension : $\left(r \cdot i + L \frac{di}{dt}\right) + R \cdot i + u_C = k \cdot i$

Regroupons les termes contenant l'intensité $i$ en posant $R_t = R + r$ :

$L \frac{di}{dt} + R_t \cdot i - k \cdot i + u_C = 0 \implies L \frac{di}{dt} + (R_t - k) \cdot i + u_C = 0$

On remplace $i$ par $C \frac{du_C}{dt}$ et $\frac{di}{dt}$ par $C \frac{d^2u_C}{dt^2}$ :

$$L \cdot C \frac{d^2u_C}{dt^2} + (R_t - k) C \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$$

Conclusion :
Pour obtenir des oscillations sinusoïdales pures (d'amplitude constante), le circuit doit se comporter comme un oscillateur LC idéal. Il faut donc faire disparaître le terme d'amortissement central.
Ceci est réalisé si l'on règle le générateur de sorte que : $R_t - k = 0 \implies k = R_t$.
Le générateur fournit alors exactement la puissance dissipée par la résistance totale du circuit.

Testez-vous

Quel est le rôle principal du dispositif d'entretien ($u_G = k \cdot i$) dans un circuit RLC ?

Quelle condition mathématique le coefficient $k$ doit-il vérifier pour que l'entretien soit parfait ?

L'essentiel

  • Oscillations libres : La décharge d'un condensateur dans une bobine produit des échanges d'énergie. Selon la résistance totale, le régime est pseudo-périodique (faible R), critique ($R=R_c$), ou apériodique (forte R).
  • Circuit LC idéal : Sans résistance ($R=0$), l'énergie totale se conserve ($dE_T/dt = 0$). Les oscillations sont sinusoïdales de période propre $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$. L'équation est $\frac{d^2u_c}{dt^2} + \frac{1}{LC}u_c = 0$.
  • Bilan énergétique RLC : La présence de résistance provoque une perte d'énergie thermique par effet Joule : $\frac{dE_T}{dt} = -R_t \cdot i^2 < 0$.
  • Courbes d'énergie : L'énergie oscille à une fréquence double de la tension. La période énergétique est $T_E = T_0 / 2$.
  • Entretien des oscillations : Pour compenser les pertes, on ajoute un dipôle fournissant $u_G = k \cdot i$. Si on règle $k = R_{totale}$, on obtient des oscillations non amorties.

4. Enrichissement et applications

Le phénomène d'oscillation dans les circuits LC et RLC est à la base des télécommunications modernes. Voici quelques applications clés :

  • L'émission et la réception Radio : Pour capter une station radio (comme dans votre voiture), le poste modifie la valeur d'un condensateur variable pour ajuster la fréquence propre $f_0$ du circuit LC de l'antenne. Quand $f_0$ correspond exactement à la fréquence de l'onde radio émise par la station, il y a résonance électrique et le signal est capté.
  • Les balises de détresse (Situation de départ) : Les balises envoient des ondes électromagnétiques grâce à un circuit LC parfaitement entretenu. Le signal sinusoïdal généré alimente une antenne qui diffuse l'onde dans l'espace.
  • Les détecteurs de métaux : Les portiques de sécurité dans les aéroports contiennent d'immenses bobines en circuit oscillant. Lorsqu'un objet métallique traverse la bobine, il modifie son inductance $L$, ce qui change brusquement la période propre $T_0$ du circuit. Le processeur détecte cette modification et déclenche l'alarme.
  • Les horloges à Quartz : Le cristal de quartz agit électriquement comme un circuit RLC ultra-précis. Sa fréquence de résonance est si stable qu'elle permet aux montres et aux ordinateurs de compter le temps à la microseconde près.
Antenne émettrice radio utilisant un circuit LC
Sans les oscillations entretenues des circuits LC, la communication sans fil (Radio, Wi-Fi, 4G) n'existerait pas.

Recherche d'approfondissement

Pour développer votre culture scientifique, vous pouvez orienter vos recherches vers :

  • Les oscillateurs harmoniques mécaniques : Quelles sont les similarités mathématiques frappantes entre le circuit LC et un pendule élastique (masse-ressort) sans frottement ?
  • La résonance de tension : Que se passe-t-il si un circuit RLC série est forcé d'osciller par un générateur de tension alternative externe (GBF) dont on fait varier la fréquence ?

5. Exercices corrigés

Exercice 1 : Étude de l'amortissement et de l'entretien

On réalise le montage d'étude d'un circuit RLC contenant un condensateur de capacité $C = 10 \;\mu\text{F}$ préalablement chargé sous une tension $E$, une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r$, et un conducteur ohmique de résistance $R$. Le graphe représente l'évolution de la tension $u_C(t)$ lors de la décharge du condensateur.

Oscillogramme de la tension uc montrant un régime pseudo-périodique
Figure 1 : Évolution de la tension $u_C(t)$ (amortissement visible).

Questions :

1 Établir l'équation différentielle régissant l'évolution de $u_C(t)$.

2 Quel est le régime d'oscillations mis en évidence sur le graphe ? Justifier.

3 Déterminer la valeur de la pseudo-période $T$ à partir du graphe.

4 En considérant que la pseudo-période $T$ est pratiquement égale à la période propre $T_0$, calculer la valeur de l'inductance $L$ (on prendra $\pi^2 = 10$).

5 Déterminer la valeur de l'énergie électrique emmagasinée dans le condensateur à l'instant $t_0 = 0$.

6 Déterminer l'énergie totale du circuit à l'instant $t_1 = T$ (une pseudo-période).

7 Calculer l'énergie dissipée entre les instants $t_0$ et $t_1$.

8 Quelle est la cause physique de cette dissipation d'énergie ?

9 Pour pallier à ce problème, on insère un générateur d'entretien délivrant $u_G = k \cdot i$. Représenter le nouveau schéma du circuit incluant ce générateur.

10 Sachant que pour obtenir un régime périodique d'amplitude constante on a dû fixer $k = 40 \text{ }\Omega$, et que la résistance du conducteur ohmique est $R = 25 \text{ }\Omega$, déduire la valeur de la résistance interne $r$ de la bobine.

Voir la solution 1
Attention. Pour lire la pseudo-période, il est plus précis de mesurer la durée sur plusieurs oscillations (ex: $3T$) puis de diviser par le nombre d'oscillations.

1 Équation différentielle : Loi des mailles : $u_L + u_R + u_C = 0$.
$r \cdot i + L \frac{di}{dt} + R \cdot i + u_C = 0 \implies L \frac{di}{dt} + (R+r)i + u_C = 0$.
Avec $i = C \frac{du_C}{dt}$ et $\frac{di}{dt} = C \frac{d^2u_C}{dt^2}$, on obtient :

$L \cdot C \frac{d^2u_C}{dt^2} + (R+r)C \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$
.

2 Régime : L'amplitude de la tension diminue progressivement au cours du temps avec des passages par zéro. C'est le régime pseudo-périodique.

3 Pseudo-période $T$ : D'après le graphe, une oscillation complète s'écoule par exemple entre 0 et 2 ms (ou on lit $2T = 4 \text{ ms}$). Donc $T = \mathbf{2,0 \text{ ms}}$.

4 Calcul de $L$ : On pose $T \approx T_0 = 2\pi \sqrt{L \cdot C}$.
On élève au carré : $T^2 = 4\pi^2 L \cdot C \implies L = \frac{T^2}{4\pi^2 C}$.
$L = \frac{(2 \cdot 10^{-3})^2}{4 \times 10 \times 10 \cdot 10^{-6}} = \frac{4 \cdot 10^{-6}}{400 \cdot 10^{-6}} = \mathbf{0,01 \text{ H}}$ (ou 10 mH).

5 Énergie à $t_0=0$ : À $t=0$, la tension est maximale ($u_C = 6 \text{ V}$ par lecture). L'intensité est nulle, donc $E_m = 0$.
$E_T(0) = E_e(0) = \frac{1}{2} C u_{C,max}^2 = 0,5 \times 10 \cdot 10^{-6} \times 6^2 = \mathbf{1,8 \cdot 10^{-4} \text{ J}}$.

6 Énergie à $t_1=T$ : À $t=T$, la tension est un sommet (l'intensité y est donc nulle, $E_m=0$). Sur le graphe, on lit $u_C(T) = 4 \text{ V}$.
$E_T(T) = E_e(T) = \frac{1}{2} C (4)^2 = 0,5 \times 10 \cdot 10^{-6} \times 16 = \mathbf{0,8 \cdot 10^{-4} \text{ J}}$.

7 Énergie dissipée : $\Delta E = |E_T(T) - E_T(0)| = |0,8 \cdot 10^{-4} - 1,8 \cdot 10^{-4}| = \mathbf{1,0 \cdot 10^{-4} \text{ J}}$.

8 Cause de dissipation : L'énergie électrique se transforme irréversiblement en chaleur à cause de la résistance totale du circuit ($R+r$) par effet Joule.

9 Nouveau schéma : Le schéma doit inclure en série : condensateur, bobine, conducteur ohmique, et un dipôle noté G avec flèche tension dans le sens du courant ($u_G = k \cdot i$).

10 Valeur de $r$ : L'entretien parfait est obtenu si la puissance injectée compense les pertes, c'est-à-dire si $k = R_{totale} = R + r$.
Donc $r = k - R = 40 - 25 = \mathbf{15 \text{ }\Omega}$.

Exercice 2 : Étude du circuit LC et courbes énergétiques

On réalise un circuit LC idéal (la résistance globale est considérée comme strictement nulle) avec $C = 20 \;\mu\text{F}$. Un logiciel permet de tracer l'évolution temporelle des énergies électrique $E_e$ (courbe A) et magnétique $E_m$ (courbe B) au sein du circuit, ainsi que l'énergie totale $E_T$ (courbe C).

Trois courbes d'énergie pour un circuit LC idéal
Figure 2 : Évolution des énergies $E_e$, $E_m$ et $E_T$ en fonction du temps.

Questions :

1 Identifier, en justifiant brièvement à $t=0$, les courbes A, B et C.

2 À partir du graphe, lire la valeur de la période énergétique $T_E$.

3 En déduire la période propre $T_0$ des oscillations électriques ($u_C$ et $i$).

4 Calculer la valeur de l'inductance $L$ de la bobine (prendre $\pi^2=10$).

5 Déterminer la valeur de l'énergie totale $E_T$ du circuit à n'importe quel instant. Que traduit la forme de la courbe C ?

6 Calculer l'énergie perdue entre l'instant $t=0$ et $t=10\text{ms}$. Était-ce prévisible ?

7 Par démonstration mathématique, prouver que dans un circuit RLC réel, la dérivée $\frac{dE_T}{dt} = -R \cdot i^2$.

8 Sachant qu'à $t=0$ l'énergie est uniquement sous forme électrique, déduire la tension initiale maximale $E$ (ou $U_m$) de charge du condensateur.

9 En exploitant la conservation de l'énergie, déterminer la valeur de l'intensité maximale $I_{max}$ qui traverse la bobine.

10 Calculer la valeur de la tension aux bornes du condensateur $u_C$ à l'instant où l'énergie magnétique est parfaitement égale à l'énergie électrique ($E_m = E_e$).

Voir la solution 2
Attention. Dans un circuit idéal, l'énergie totale est l'énergie maximale du condensateur (quand $i=0$) OU l'énergie maximale de la bobine (quand $u_C=0$). $E_T = E_{e,max} = E_{m,max}$.

1 Identification des courbes :
À $t=0$, le condensateur est chargé (tension max), donc $E_e$ est maximale. La courbe A qui part d'une valeur max est l'énergie électrique $E_e$.
À $t=0$, le courant est nul, donc l'énergie magnétique $E_m$ est nulle. La courbe B qui part de 0 est l'énergie magnétique $E_m$.
La courbe C est une droite horizontale constante égale à la somme des deux, c'est l'énergie totale $E_T$.

2 Période énergétique $T_E$ : La durée séparant deux sommets de la même courbe (par exemple l'énergie électrique) se lit sur l'axe des abscisses. On y lit $T_E = 1 \text{ ms}$.

3 Période propre $T_0$ : La relation de cours stipule que $T_E = \frac{T_0}{2}$. Donc $T_0 = 2 \cdot T_E = 2 \times 1 = \mathbf{2 \text{ ms}}$.

4 Calcul de $L$ : $T_0 = 2\pi\sqrt{LC} \implies L = \frac{T_0^2}{4\pi^2 C}$.
$L = \frac{(2 \cdot 10^{-3})^2}{40 \times 20 \cdot 10^{-6}} = \frac{4 \cdot 10^{-6}}{800 \cdot 10^{-6}} = \frac{4}{800} = \mathbf{0,005 \text{ H}}$ (ou 5 mH).

5 Énergie totale $E_T$ : Sur le graphe, la droite horizontale C correspond à $E_T = \mathbf{4,0 \text{ mJ}}$ (soit $4 \cdot 10^{-3} \text{ J}$). Sa forme horizontale traduit la conservation de l'énergie (système idéal non amorti).

6 Énergie perdue : L'énergie perdue est nulle ($0 \text{ J}$). C'était prévisible car l'énoncé précise qu'il s'agit d'un circuit LC idéal (sans résistance).

7 Démonstration :
$E_T = \frac{1}{2} C u_C^2 + \frac{1}{2} L i^2$. On dérive : $\frac{dE_T}{dt} = C u_C \frac{du_C}{dt} + L i \frac{di}{dt}$.
Avec $i = C \frac{du_C}{dt}$, on factorise : $\frac{dE_T}{dt} = i (u_C + L \frac{di}{dt})$.
La loi des mailles du circuit RLC est $R i + L \frac{di}{dt} + u_C = 0 \implies u_C + L \frac{di}{dt} = -R i$.
On substitue :

$\frac{dE_T}{dt} = i (-R i) = -R i^2$
.

8 Tension initiale : $E_T = E_{e,max} = \frac{1}{2} C E^2 \implies E^2 = \frac{2 E_T}{C}$.
$E = \sqrt{\frac{2 \times 4 \cdot 10^{-3}}{20 \cdot 10^{-6}}} = \sqrt{400} = \mathbf{20 \text{ V}}$.

9 Intensité maximale : De même, l'énergie totale se retrouve intégralement dans la bobine quand $u_C=0$. $E_T = E_{m,max} = \frac{1}{2} L I_{max}^2 \implies I_{max} = \sqrt{\frac{2 E_T}{L}}$.
$I_{max} = \sqrt{\frac{2 \times 4 \cdot 10^{-3}}{0,005}} = \sqrt{1,6} \approx \mathbf{1,26 \text{ A}}$.

10 Tension quand $E_m = E_e$ :
On sait que $E_T = E_e + E_m$. Si $E_m = E_e$, alors $E_T = E_e + E_e = 2 \cdot E_e$.
Donc $E_e = \frac{E_T}{2}$.
$\frac{1}{2} C u_C^2 = \frac{E_T}{2} \implies C u_C^2 = E_T \implies u_C = \pm \sqrt{\frac{E_T}{C}}$.
$u_C = \pm \sqrt{\frac{4 \cdot 10^{-3}}{20 \cdot 10^{-6}}} = \pm \sqrt{200} \approx \mathbf{\pm 14,14 \text{ V}}$.

Exercice 3 : Suivi de la tension $u_L(t)$ dans un circuit LC

Un condensateur de capacité $C$ est chargé sous une tension $E = 5 \text{ V}$. À $t=0$, on le connecte aux bornes d'une bobine pure (idéale) d'inductance $L = 0,2 \text{ H}$. L'enregistrement informatique a permis de tracer les variations de la tension aux bornes de la bobine $u_L(t)$.

Questions :

1 Schématiser le circuit étudié en fléchant $u_C$ et $u_L$.

2 Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension $u_L(t)$ (et non pas $u_C$).

3 La solution pour la tension du condensateur est $u_C(t) = E \cos(\frac{2\pi}{T_0} t)$. Déduire l'expression analytique de $u_L(t)$.

4 D'après l'expression précédente, déterminer la valeur de l'amplitude (valeur maximale) que doit afficher la courbe de $u_L$.

5 La courbe obtenue indique une période $T_0 = 12,56 \text{ ms}$. Déduire la valeur de la capacité $C$.

6 Calculer la charge maximale portée par le condensateur.

7 Exprimer l'énergie magnétique en fonction de $E$, $L$, $C$ et le temps. Calculer sa valeur à l'instant $t = \frac{T_0}{4}$.

Voir la solution 3
Attention. Dans un circuit LC idéal sans résistance, on a tout simplement $u_L(t) = -u_C(t)$. Les courbes des deux tensions sont donc en opposition de phase.

1 Schéma : Circuit en boucle fermée. Condensateur et bobine en série. En convention récepteur pour les deux, la flèche $i$ impose $u_C$ et $u_L$ dans le sens opposé au courant.

2 Équation pour $u_L$ :
La loi des mailles donne $u_L + u_C = 0 \implies u_C = -u_L$.
L'équation classique est $\frac{d^2u_C}{dt^2} + \frac{1}{LC} u_C = 0$.
En remplaçant $u_C$ par $-u_L$, on a : $-\frac{d^2u_L}{dt^2} - \frac{1}{LC} u_L = 0 \implies$

$\frac{d^2u_L}{dt^2} + \frac{1}{LC} u_L = 0$
. L'équation est identique.

3 Expression analytique :
Puisque $u_L + u_C = 0$, on a directement $u_L(t) = -u_C(t)$.
Donc

$u_L(t) = -E \cos(\frac{2\pi}{T_0} t)$
.

4 Amplitude :
La fonction cosinus oscille entre -1 et 1. La valeur maximale de $u_L(t)$ est donc $\mathbf{E = 5 \text{ V}}$.

5 Calcul de C :
$T_0 = 2\pi\sqrt{LC} \implies C = \frac{T_0^2}{4\pi^2 L}$.
$C = \frac{(12,56 \cdot 10^{-3})^2}{40 \times 0,2} = \frac{157,7 \cdot 10^{-6}}{8} \approx \mathbf{20 \cdot 10^{-6} \text{ F}}$ (ou $20 \;\mu\text{F}$). (En utilisant $4\pi^2 \approx 40$ et $12,56 \approx 4\pi$).

6 Charge maximale :
$Q_{max} = C \cdot E = 20 \cdot 10^{-6} \times 5 = \mathbf{100 \cdot 10^{-6} \text{ C}}$ (ou $100 \;\mu\text{C}$).

7 Énergie à T0/4 :
On sait que l'énergie totale est conservée : $E_T = \frac{1}{2} C E^2 = \text{Constante}$.
À $t = \frac{T_0}{4}$, la fonction cosinus s'annule : $\cos(2\pi \frac{T_0/4}{T_0}) = \cos(\pi/2) = 0$.
Donc $u_C(T_0/4) = 0$. L'énergie électrique est nulle.
Par conséquent, toute l'énergie est magnétique : $E_m(T_0/4) = E_T = \frac{1}{2} C E^2$.
$E_m = 0,5 \times 20 \cdot 10^{-6} \times 5^2 = \mathbf{2,5 \cdot 10^{-4} \text{ J}}$.

6. QCM : 30 questions

7. Fiches d'expériences

Pour les enseignants et pour préparer les travaux pratiques.

Mise en évidence des régimes d'oscillations

Identification

Partie Physique Unité Les Oscillations libres (Circuit RLC)
Titre Étude de la décharge d'un condensateur dans une bobine
Durée 35 minutes

Cadre pédagogique

Objectifs de l'expérience Précautions et orientations Conseils techniques
  • Visualiser la décharge oscillante d'un condensateur.
  • Identifier les différents régimes (pseudo-périodique, apériodique).
  • Comprendre l'origine physique des oscillations électriques.
  • Charger complètement le condensateur (Position 1) avant chaque essai.
  • Respecter la tension maximale de service du condensateur.
  • Varier progressivement la résistance $R'$ pour repérer précisément la transition (régime critique).

Dispositif expérimental

Montage expérimental
Montage RLC série.
Régime pseudo-périodique.
Régime apériodique.
Matériel Générateur idéal $E$, condensateur $C$, bobine $(L, r)$, conducteur ohmique variable $R'$, commutateur double position, système d'acquisition (oscilloscope).

Déroulement et exploitation

Étapes expérimentales Questions de l'activité Résultats attendus Réponses & Conclusions
1. Placer l'interrupteur en position 1 (Charge). 1. Quel est le but de cette étape préalable ? La tension aux bornes du condensateur atteint $E$. Emmagasiner de l'énergie électrique maximale ($u_C = E$) avant la décharge.
2. Basculer en position 2 (avec une faible résistance R'). 2. Comment évolue $u_C(t)$ ? Quel est le nom de la durée entre deux crêtes ? Oscillations dont l'amplitude décroît progressivement. Régime pseudo-périodique. La durée entre deux sommets est la pseudo-période $T$.
3. Augmenter fortement la résistance R'. 3. Que devient le signal et comment justifier les oscillations physiques ? La tension chute lentement vers 0 sans osciller. C'est le régime apériodique. Les oscillations naissent d'un échange mutuel d'énergie entre $C$ et $L$.

Bilan et évaluation

Bilan de l'expérience
La décharge d'un condensateur dans une bobine engendre un échange mutuel d'énergie. Si la résistance totale est faible, on observe un régime pseudo-périodique (oscillations amorties). Si elle est élevée, l'amortissement empêche toute oscillation (régime apériodique).
Questions d'évaluation
Q1. Quel paramètre dissipe l'énergie dans ce circuit ? Q2. Comment nomme-t-on le régime limite entre l'existence et l'absence d'oscillations ? Q3. En l'absence totale de résistance, quel régime observerait-on ?
Analyse énergétique des circuits LC et RLC

Identification

Partie Physique Unité Les Oscillations libres (Circuit RLC)
Titre Étude des transferts d'énergie et lois de conservation
Durée 35 minutes

Cadre pédagogique

Objectifs de l'expérience Précautions et orientations Conseils techniques
  • Démontrer la conservation de l'énergie en circuit idéal LC.
  • Relier l'amortissement en RLC à l'effet Joule.
  • Analyser l'évolution des courbes énergétiques.
  • Bien distinguer l'énergie électrique ($E_e$) de l'énergie magnétique ($E_m$).
  • L'énergie totale peut être lue facilement sur les crêtes de l'énergie électrique ($E_{e,max}$).

Dispositif expérimental

Graphes et Analyses
Énergies : Circuit LC idéal (Conservation).
Énergies : Circuit RLC (Dissipation).
Modélisation Exploitation de graphiques d'énergies issus d'un logiciel d'acquisition en fonction du temps pour les circuits LC et RLC.

Déroulement et exploitation

Étapes expérimentales Questions de l'activité Résultats attendus Réponses & Conclusions
1. Étude analytique du circuit LC ($R=0$). 1. Comment évolue l'énergie totale $E_T$ ? Que vaut sa dérivée ? La courbe $E_T$ est une droite horizontale constante. L'énergie se conserve ($dE_T/dt = 0$) par un échange parfait entre $C$ et $L$.
2. Étude analytique du circuit RLC ($R \neq 0$). 2. Pourquoi $E_T$ diminue-t-elle par paliers ? $E_T$ chute à chaque oscillation complète. L'énergie est dissipée en chaleur par effet Joule ($dE_T/dt = -R_t \cdot i^2$).
3. Comparaison temporelle. 3. Quelle est la relation entre la période énergétique $T_E$ et la période électrique $T_0$ ? Les courbes d'énergie oscillent deux fois plus vite. La période de l'énergie vaut la moitié de la période propre : $T_E = T_0 / 2$.

Bilan et évaluation

Bilan de l'expérience
Dans un circuit idéal (LC), l'énergie totale est constante. Dans un circuit réel (RLC), la résistance totale provoque une dissipation irréversible de l'énergie sous forme de chaleur. La variation de $E_T$ correspond exactement aux pertes par effet Joule.
Questions d'évaluation
Q1. Que vaut l'énergie magnétique lorsque la tension $u_C$ est maximale ? Q2. Comment calculer graphiquement l'énergie dissipée entre $t_1$ et $t_2$ ? Q3. Pourquoi la dérivée de $E_T$ est-elle toujours négative ou nulle en RLC ?
Entretien des oscillations d'un circuit RLC

Identification

Partie Physique Unité Les Oscillations libres (Circuit RLC)
Titre Compensation des pertes énergétiques par générateur d'entretien
Durée 25 minutes

Cadre pédagogique

Objectifs de l'expérience Précautions et orientations Conseils techniques
  • Comprendre le rôle actif d'un générateur d'entretien.
  • Établir la condition d'obtention d'oscillations idéales.
  • Résoudre le problème de l'amortissement.
  • Éviter le sur-réglage du coefficient $k$ pour ne pas saturer le système (divergence).
  • Ajuster le potentiomètre fixant $k$ très progressivement jusqu'à l'obtention d'une sinusoïde parfaite.

Dispositif expérimental

Montage expérimental
Générateur d'entretien ($u_G = k \cdot i$).
Résultat : Oscillations non amorties.
Matériel Circuit RLC série, dipôle générateur d'entretien (souvent basé sur un Amplificateur Opérationnel) fournissant $u_G = k \cdot i$, oscilloscope.

Déroulement et exploitation

Étapes expérimentales Questions de l'activité Résultats attendus Réponses & Conclusions
1. Insérer le générateur actif et observer l'évolution de la tension. 1. Quel est le rôle principal de ce composant spécifique ? L'amortissement diminue au fur et à mesure que l'on règle $k$. Il injecte de l'énergie en temps réel pour compenser les pertes par effet Joule.
2. Appliquer la loi des mailles avec $u_G = k \cdot i$. 2. Comment s'écrit la nouvelle équation différentielle du circuit ? Apparition d'un terme modifiable lié à l'amortissement. $LC \frac{d^2u_C}{dt^2} + \mathbf{(R_t - k)} C \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$.
3. Rechercher les oscillations d'amplitude constante. 3. Quelle condition permet d'obtenir l'entretien parfait ? Le signal devient une sinusoïde pure, d'amplitude fixe. Il faut annuler le terme de dissipation globale en réglant : $k = R_{totale}$.

Bilan et évaluation

Bilan de l'expérience
L'ajout d'un dipôle fournissant une tension proportionnelle à l'intensité permet d'entretenir les oscillations d'un circuit RLC. En réglant sa constante $k$ pour qu'elle soit égale à la résistance totale du circuit, on compense exactement les pertes énergétiques et on retrouve un régime périodique idéal.
Questions d'évaluation
Q1. Que se passerait-il théoriquement si l'on réglait $k < R_t$ ? Q2. Sous quelle forme mathématique s'exprime la tension du générateur d'entretien ? Q3. En entretien parfait, à quoi correspond la période des oscillations observées ?

8. Documents à télécharger