Les supports didactiques imprimés de la leçon : Les Oscillations libres dans un circuit RLC série

Document : Situation de départ

Balise de détresse émettant des ondes radio — La génération d'un signal radio stable nécessite des oscillations électriques non amorties.

Dans le cadre d'un concours national d'innovation, un groupe d'élèves ingénieurs souhaite concevoir une balise de détresse pour les randonneurs dans les zones montagneuses isolées (Haut Atlas). Pour émettre un signal radio continu détectable par les secours, ils ont besoin d'ondes sinusoïdales stables. Cependant, en testant leur circuit RLC prototype, ils constatent que le signal s'affaiblit progressivement jusqu'à disparaître.

👉 Problème : Quelle est la cause de cette perte de signal (amortissement) ? Comment peut-on compenser ces pertes énergétiques pour maintenir le fonctionnement continu de la balise (entretien des oscillations) ?

Activité expérimentale : Les régimes d'oscillations

Schéma du circuit RLC avec commutateur — Circuit RLC série. (Position 1 : Charge, Position 2 : Décharge et Oscillations).

On réalise le montage schématisé ci-dessous comportant : un générateur idéal de tension $E$, un condensateur de capacité $C$, une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r$, un conducteur ohmique de résistance variable $R'$ et un commutateur à double position.

Questions :

1 Quel est le but de placer d'abord l'interrupteur en position 1 ?

2 On bascule l'interrupteur en position 2. La résistance totale du circuit est $R = R' + r$. Observer l'évolution de la tension $u_C(t)$ pour une faible valeur de $R$. Comment appelle-t-on le temps séparant deux crêtes maximales successives ?

3 On augmente progressivement la valeur de la résistance $R'$. Décrire ce qui arrive au signal.

4 Quelle est la cause physique fondamentale de l'apparition de ces oscillations électriques dans le circuit ?

Exercice 1 : Étude de l'amortissement et de l'entretien

Oscillogramme de la tension uc montrant un régime pseudo-périodique — Figure 1 : Évolution de la tension $u_C(t)$ (amortissement visible).

On réalise le montage d'étude d'un circuit RLC contenant un condensateur de capacité $C = 10 \;\mu\text{F}$ préalablement chargé sous une tension $E$, une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r$, et un conducteur ohmique de résistance $R$. Le graphe représente l'évolution de la tension $u_C(t)$ lors de la décharge du condensateur.

Questions :

1 Établir l'équation différentielle régissant l'évolution de $u_C(t)$.

2 Quel est le régime d'oscillations mis en évidence sur le graphe ? Justifier.

3 Déterminer la valeur de la pseudo-période $T$ à partir du graphe.

4 En considérant que la pseudo-période $T$ est pratiquement égale à la période propre $T_0$, calculer la valeur de l'inductance $L$ (on prendra $\pi^2 = 10$).

5 Déterminer la valeur de l'énergie électrique emmagasinée dans le condensateur à l'instant $t_0 = 0$.

6 Déterminer l'énergie totale du circuit à l'instant $t_1 = T$ (une pseudo-période).

7 Calculer l'énergie dissipée entre les instants $t_0$ et $t_1$.

8 Quelle est la cause physique de cette dissipation d'énergie ?

9 Pour pallier à ce problème, on insère un générateur d'entretien délivrant $u_G = k \cdot i$. Représenter le nouveau schéma du circuit incluant ce générateur.

10 Sachant que pour obtenir un régime périodique d'amplitude constante on a dû fixer $k = 40 \text{ }\Omega$, et que la résistance du conducteur ohmique est $R = 25 \text{ }\Omega$, déduire la valeur de la résistance interne $r$ de la bobine.

Exercice 2 : Étude du circuit LC et courbes énergétiques

Trois courbes d'énergie pour un circuit LC idéal — Figure 2 : Évolution des énergies $E_e$, $E_m$ et $E_T$ en fonction du temps.

On réalise un circuit LC idéal (la résistance globale est considérée comme strictement nulle) avec $C = 20 \;\mu\text{F}$. Un logiciel permet de tracer l'évolution temporelle des énergies électrique $E_e$ (courbe A) et magnétique $E_m$ (courbe B) au sein du circuit, ainsi que l'énergie totale $E_T$ (courbe C).

Questions :

1 Identifier, en justifiant brièvement à $t=0$, les courbes A, B et C.

2 À partir du graphe, lire la valeur de la période énergétique $T_E$.

3 En déduire la période propre $T_0$ des oscillations électriques ($u_C$ et $i$).

4 Calculer la valeur de l'inductance $L$ de la bobine (prendre $\pi^2=10$).

5 Déterminer la valeur de l'énergie totale $E_T$ du circuit à n'importe quel instant. Que traduit la forme de la courbe C ?

6 Calculer l'énergie perdue entre l'instant $t=0$ et $t=10\text{ms}$. Était-ce prévisible ?

7 Par démonstration mathématique, prouver que dans un circuit RLC réel, la dérivée $\frac{dE_T}{dt} = -R \cdot i^2$.

8 Sachant qu'à $t=0$ l'énergie est uniquement sous forme électrique, déduire la tension initiale maximale $E$ (ou $U_m$) de charge du condensateur.

9 En exploitant la conservation de l'énergie, déterminer la valeur de l'intensité maximale $I_{max}$ qui traverse la bobine.

10 Calculer la valeur de la tension aux bornes du condensateur $u_C$ à l'instant où l'énergie magnétique est parfaitement égale à l'énergie électrique ($E_m = E_e$).

Exercice 3 : Suivi de la tension $u_L(t)$ dans un circuit LC

Un condensateur de capacité $C$ est chargé sous une tension $E = 5 \text{ V}$. À $t=0$, on le connecte aux bornes d'une bobine pure (idéale) d'inductance $L = 0,2 \text{ H}$. L'enregistrement informatique a permis de tracer les variations de la tension aux bornes de la bobine $u_L(t)$.

Questions :

1 Schématiser le circuit étudié en fléchant $u_C$ et $u_L$.

2 Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension $u_L(t)$ (et non pas $u_C$).

3 La solution pour la tension du condensateur est $u_C(t) = E \cos(\frac{2\pi}{T_0} t)$. Déduire l'expression analytique de $u_L(t)$.

4 D'après l'expression précédente, déterminer la valeur de l'amplitude (valeur maximale) que doit afficher la courbe de $u_L$.

5 La courbe obtenue indique une période $T_0 = 12,56 \text{ ms}$. Déduire la valeur de la capacité $C$.

6 Calculer la charge maximale portée par le condensateur.

7 Exprimer l'énergie magnétique en fonction de $E$, $L$, $C$ et le temps. Calculer sa valeur à l'instant $t = \frac{T_0}{4}$.

Régime pseudo-périodique montrant un amortissement progressif — Régime pseudo-périodique (Faible amortissement).

Régime apériodique montrant une chute directe vers zéro sans oscillation — Régime apériodique (Fort amortissement).

Régime critique, la chute la plus rapide vers zéro — Régime critique (Amortissement critique).

Régime périodique idéal, oscillations sinusoïdales pures — Régime périodique idéal (Amortissement nul).

Schéma d'un circuit LC idéal sans aucune résistance — Circuit LC idéal : Aucune résistance, aucune perte d'énergie.

Évolution de la tension, de la charge et de l'intensité dans un circuit LC — L'intensité $i(t)$ est déphasée d'un quart de période ($\pi/2$) par rapport à $u_C(t)$ et $q(t)$.

Courbes de conservation de l'énergie dans un circuit LC — Conservation de l'énergie en LC : $E_T$ est constante. Quand $E_e$ est max, $E_m$ est nulle et inversement.

Évolution de l'énergie dans un circuit RLC pseudo-périodique — Régime pseudo-périodique : L'énergie totale $E_T$ décroît par paliers (chutes d'énergie à chaque passage de courant maximal).

Évolution de l'énergie dans un circuit RLC apériodique — Régime apériodique : Chute brutale de l'énergie totale sans aucune oscillation, toute l'énergie est rapidement dissipée en chaleur.

Schéma d'un circuit RLC avec générateur d'entretien ug = k.i — Circuit d'entretien : Le générateur compense exactement les pertes résistives.

Antenne émettrice radio utilisant un circuit LC — Sans les oscillations entretenues des circuits LC, la communication sans fil n'existerait pas.