Pour 2BAC PC2BAC SVT2BAC SMMis à jour le 15 octobre 2026
Objectifs pédagogiques
Savoir définir les grandeurs du régime alternatif sinusoïdal (tension, intensité, déphasage).
Connaître et utiliser la construction de Fresnel pour établir l'expression de l'impédance $Z$.
Savoir mettre en évidence expérimentalement le phénomène de résonance d'intensité.
Exploiter la courbe de résonance pour déterminer la bande passante et le facteur de qualité.
Calculer la puissance moyenne consommée et comprendre l'importance du facteur de puissance.
Compétences visées
Maîtriser les branchements de l'oscilloscope pour visualiser le déphasage entre la tension et le courant.
Calculer précisément le déphasage à l'aide de la formule $\varphi = 2\pi \frac{\tau}{T}$.
Analyser l'influence de la résistance sur l'acuité de la résonance.
Vérifiez vos prérequis
Dans un circuit RLC en régime libre non amorti, quelle est l'équation différentielle vérifiée par la charge $q(t)$ ?
L'équation est : $\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{LC} q = 0$. Le système oscille librement à sa fréquence propre.
Quelle est l'expression de l'énergie totale emmagasinée dans un circuit LC idéal ?
L'énergie totale est la somme de l'énergie électrique du condensateur et de l'énergie magnétique de la bobine : $E_T = \frac{1}{2} C u_C^2 + \frac{1}{2} L i^2$. Dans un circuit LC idéal, cette énergie est constante.
Situation de départ
Un élève passionné d'électronique tente de capter clairement une chaîne radio nationale (SNRT) sur un ancien récepteur. Il remarque qu'il doit tourner le bouton de réglage (condensateur variable) avec une extrême précision pour isoler la fréquence unique de la station, sinon le son est parasité. Parallèlement, lors d'une visite dans une usine locale, il apprend que l'ingénieur en chef insiste pour installer de grandes "batteries de condensateurs" à l'arrivée du courant électrique afin d'éviter de lourdes pénalités financières imposées par l'office national d'électricité, bien que cela ne change pas le fonctionnement des machines.
Problème : Quel est le lien physique entre la sélection précise d'une fréquence radio (sélectivité) et l'optimisation de la facture énergétique industrielle (facteur de puissance) ? Comment l'ajustement de la capacité C influence-t-il le comportement global du circuit face à une excitation alternative ?
Oscillations forcées : de l’accord radio à la compensation industrielle.
1. Le régime alternatif sinusoïdal
Contrairement aux oscillations libres où le circuit est laissé à lui-même, nous étudions ici un circuit forcé par un générateur extérieur (Générateur Basse Fréquence - GBF) qui impose en permanence sa propre fréquence $N$ au circuit.
Grandeurs sinusoïdales (rappels)
Un courant alternatif sinusoïdal a une intensité instantanée $i(t)$ qui s'écrit :
$$i(t) = I_m \cos(\omega t + \varphi_i)$$
La tension correspondante imposée par le générateur s'écrit :
$$u(t) = U_m \cos(\omega t + \varphi_u)$$
$I_m$ et $U_m$ : Amplitudes maximales (liées aux valeurs efficaces par $U = \frac{U_m}{\sqrt{2}}$ et $I = \frac{I_m}{\sqrt{2}}$).
$\omega = 2\pi N = \frac{2\pi}{T}$ : Pulsation du signal (en rad/s). Le GBF impose cette pulsation.
$\varphi_i$ et $\varphi_u$ : Phases à l'origine des temps (en rad).
Évolution temporelle d'un courant sinusoïdal $i(t)$.
Le Déphasage (différence de phase)
Ouvrir la simulation : Le Déphasage (différence de phase)
Le déphasage (différence de phase) entre la tension $u(t)$ et l'intensité $i(t)$ est défini par :
$$\varphi = \varphi_u - \varphi_i$$
Sur un oscilloscope, ce déphasage se manifeste par un décalage temporel $\tau$ (ou $\Delta t$) entre les deux courbes. La relation mathématique rigoureuse liant le déphasage $\varphi$ au décalage temporel $\tau$ est :
$$\varphi = \pm 2\pi \frac{\tau}{T}$$
$\tau$ : Décalage temporel entre les sommets des deux courbes (en secondes).
$T$ : Période du signal (en secondes).
Le signe $(+)$ est choisi si la tension $u(t)$ est en avance sur $i(t)$. Le signe $(-)$ si elle est en retard.
Déphasage : Le décalage temporel $\tau$ entre la tension et l'intensité permet de calculer $\varphi$.
L'Impédance Z d'un dipôle
L'impédance, notée $Z$, est une grandeur physique qui généralise la notion de résistance pour les régimes alternatifs. Elle quantifie l'opposition globale d'un dipôle (ou d'un circuit) au passage du courant alternatif sinusoïdal.
Elle est définie comme le rapport entre la valeur efficace (ou maximale) de la tension à ses bornes et la valeur efficace (ou maximale) de l'intensité du courant qui le traverse :
$$Z = \frac{U}{I} = \frac{U_m}{I_m}$$
L'impédance s'exprime en Ohm ($\Omega$). Pour une résistance pure, $Z = R$. Pour un condensateur, $Z_C = \frac{1}{C\omega}$. Pour une bobine idéale, $Z_L = L\omega$.
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2. Oscillations forcées et construction de Fresnel
Étude expérimentale des oscillations forcées
Activité expérimentale : Les oscillations forcées
Activité expérimentale 1 : Réponse d'un circuit RLC
On réalise un montage en série comprenant un GBF (l'excitateur) délivrant une tension sinusoïdale, un condensateur de capacité $C$, une bobine $(L, r)$ et un conducteur ohmique de résistance $R$. L'ensemble (R,L,C) forme le résonateur. On visualise à l'oscilloscope la tension totale $u(t)$ du GBF sur la voie Y1 et la tension $u_R(t)$ sur la voie Y2.
Montage expérimental des oscillations forcées et visualisation des tensions.
Questions :
1 Pourquoi visualise-t-on $u_R(t)$ sur la voie Y2 ? Que représente cette courbe concrètement ?
2 En observant l'écran de l'oscilloscope, que peut-on dire sur la fréquence des deux signaux (tension du GBF et courant du circuit) ?
Voir les réponses
1 On visualise $u_R(t)$ car, selon la loi d'Ohm ($u_R = R \cdot i$), la tension aux bornes du résistor est proportionnelle à l'intensité. La courbe sur Y2 est donc l'image exacte des variations de l'intensité $i(t)$ traversant le circuit RLC.
2Conclusion fondamentale : L'intensité $i(t)$ qui s'établit dans le résonateur RLC a exactement la même fréquence $N$ que la tension $u(t)$ imposée par le GBF (l'excitateur). C'est pourquoi on parle d'oscillations "forcées". Le circuit est obligé de vibrer au rythme du générateur.
Bilan sur le régime forcé
Dans un circuit RLC en régime forcé, le générateur impose sa propre fréquence $N$ à l'ensemble du circuit. Après un bref régime transitoire, le courant s'établit en régime permanent sinusoïdal. La tension aux bornes du circuit et l'intensité du courant qui le traverse vibrent avec la même fréquence, mais elles sont généralement déphasées l'une par rapport à l'autre à cause de la présence de la bobine et du condensateur.
Équation différentielle du circuit
Appliquons la loi d'additivité des tensions pour le circuit en série :
$u_R + u_L + u_C = u(t)$
En remplaçant chaque tension par son expression (avec $R_t = R + r$) :
$$R_t \cdot i + L \frac{di}{dt} + \frac{1}{C} \int i dt = U_m \cos(\omega t + \varphi)$$
Il est complexe de résoudre cette équation analytiquement. Les physiciens utilisent une méthode géométrique très élégante : La construction de Fresnel.
Construction de Fresnel
La méthode de Fresnel associe à chaque grandeur sinusoïdale un vecteur tournant. Fixons l'origine des phases sur l'intensité : $i(t) = I_m \cos(\omega t)$. Ainsi, le vecteur associé à $i(t)$ est horizontal (angle 0).
Analysons chaque terme de l'équation différentielle pour construire les vecteurs correspondants :
Tension résistive ($u_{R_t} = R_t \cdot i$) : Amplitude = $R_t \cdot I_m$. Phase = $0$. Le vecteur $\vec{V_R}$ est colinéaire à l'intensité (horizontal).
Tension inductive ($u_L = L \frac{di}{dt}$) : La dérivée de $\cos(\omega t)$ est $-\omega \sin(\omega t) = \omega \cos(\omega t + \frac{\pi}{2})$. Amplitude = $L\omega \cdot I_m$. Phase = $+\frac{\pi}{2}$. Le vecteur $\vec{V_L}$ est vertical pointant vers le haut (en avance de 90°).
Tension capacitive ($u_C = \frac{1}{C} \int i dt$) : L'intégrale de $\cos(\omega t)$ est $\frac{1}{\omega} \sin(\omega t) = \frac{1}{\omega} \cos(\omega t - \frac{\pi}{2})$. Amplitude = $\frac{1}{C\omega} \cdot I_m$. Phase = $-\frac{\pi}{2}$. Le vecteur $\vec{V_C}$ est vertical pointant vers le bas (en retard de 90°).
D'après l'équation de la maille, le vecteur $\vec{V_u}$ représentant la tension totale $u(t)$ du générateur est la somme vectorielle de ces trois vecteurs :
$\vec{V_u} = \vec{V_R} + \vec{V_L} + \vec{V_C}$
Construction de Fresnel : La somme vectorielle forme un triangle rectangle.
Importance de la construction de Fresnel :
Cette méthode géométrique permet de transformé une équation différentielle complexe contenant des dérivées et des intégrales en une simple addition vectorielle. Elle facilite énormément le calcul de l'impédance $Z$ et du déphasage $\varphi$ sans avoir recours aux nombres complexes.
Expression de l'impédance et du déphasage
Expression de l'Impédance $Z$ :
Sur la construction de Fresnel (figure ci-dessus), l'addition des vecteurs forme un triangle rectangle d'hypoténuse $U_m$. Appliquons le théorème de Pythagore :
Dans le même triangle rectangle de la construction de Fresnel, l'angle $\varphi$ est l'angle entre le vecteur courant $\vec{V_R}$ et le vecteur tension totale $\vec{V_u}$. Appliquons les relations trigonométriques :
On peut également utiliser le cosinus pour trouver le facteur de puissance : $\cos(\varphi) = \frac{R_t \cdot I_m}{U_m} = \frac{R_t}{Z}$.
L'impédance $Z$ varie en fonction de la fréquence imposée par le générateur.
Explication de l'allure de la courbe :
Aux basses fréquences ($N \to 0$), le terme $\frac{1}{C\omega}$ tend vers l'infini, rendant l'impédance $Z$ très grande (le condensateur bloque le courant). Aux hautes fréquences ($N \to \infty$), le terme $L\omega$ tend vers l'infini, rendant $Z$ très grande également (la bobine bloque les variations rapides). Entre les deux, il existe une fréquence particulière $N_0$ où les deux effets s'annulent ($L\omega = \frac{1}{C\omega}$). À ce point précis, l'impédance passe par un minimum absolu ($Z_{min} = R_t$).
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3. Le phénomène de résonance d'intensité
Expérience sur la résonance et la bande passante
Activité expérimentale : la résonance
Ouvrir la simulation : Activité expérimentale : la résonance
Activité expérimentale 2 : Variation de la fréquence N
On maintient la tension efficace $U$ du générateur constante. On fait varier progressivement la fréquence $N$ du GBF et on mesure l'intensité efficace $I$ traversant le circuit RLC. On trace ensuite la courbe de l'intensité en fonction de la fréquence : $I = f(N)$.
Circuit expérimental et Courbe de résonance d'intensité $I = f(N)$.
Questions :
1 Comment évolue l'intensité du courant lorsqu'on fait varier la fréquence depuis 0 jusqu'à des valeurs élevées ?
2 Que représente le sommet de la courbe ?
Voir les réponses
1 L'intensité est faible aux basses fréquences, elle augmente jusqu'à atteindre un pic maximum absolu, puis rediminue pour devenir très faible aux hautes fréquences.
2 Le sommet de la courbe correspond au phénomène de résonance d'intensité. C'est l'état où le circuit RLC laisse passer le maximum de courant possible ($I = I_0$). La fréquence correspondante s'appelle la fréquence de résonance $N_0$.
Étude théorique de la résonance
Mathématiquement, pour que l'intensité efficace $I = \frac{U}{Z}$ soit maximale, il faut que l'impédance $Z = \sqrt{R_t^2 + \left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right)^2}$ soit minimale.
Le minimum de $Z$ est atteint lorsque la partie entre parenthèses s'annule :
La fréquence de résonance est identique à la fréquence propre du circuit : $N_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$.
L'impédance du circuit est minimale et purement résistive : $Z_0 = R_t$.
L'intensité efficace est maximale : $I_0 = \frac{U}{R_t}$.
Le déphasage est nul ($\tan(\varphi) = 0 \implies \varphi = 0$). La tension et l'intensité sont en phase.
Bande passante et Facteur de qualité
Bande passante à -3 dB :
C'est l'intervalle de fréquences $[N_1 ; N_2]$ pour lequel l'intensité efficace du courant est supérieure ou égale à l'intensité maximale divisée par $\sqrt{2}$.
$$I \ge \frac{I_0}{\sqrt{2}}$$
La largeur de la bande passante est $\Delta N = N_2 - N_1$.
Détermination graphique de la bande passante $\Delta N$.
Facteur de qualité $Q$ :
Il permet d'évaluer la "finesse" ou l'acuité de la résonance (la sélectivité du circuit, comme pour capter la radio dans la situation de départ). C'est une grandeur sans unité :
Plus la résistance totale $R_t$ est petite, plus $Q$ est grand, et plus la courbe de résonance est aiguë (très fine et très haute). Le circuit est alors très sélectif.
Puissance en régime alternatif (Facteur de puissance)
a. La puissance instantanée :
À chaque instant $t$, la puissance électrique reçue par le dipôle est le produit de la tension par l'intensité :
$p(t) = u(t) \cdot i(t)$
En remplaçant par les expressions sinusoïdales $u(t) = U\sqrt{2}\cos(\omega t + \varphi)$ et $i(t) = I\sqrt{2}\cos(\omega t)$, on obtient :
$p(t) = 2 \cdot U \cdot I \cdot \cos(\omega t + \varphi) \cdot \cos(\omega t)$
En utilisant la formule trigonométrique $\cos(a) \cdot \cos(b) = \frac{1}{2}[\cos(a+b) + \cos(a-b)]$, l'expression devient :
$$p(t) = U \cdot I [\cos(2\omega t + \varphi) + \cos(\varphi)]$$
La puissance instantanée est donc composée d'une partie variable (qui oscille à la pulsation $2\omega$) et d'une partie constante.
b. La puissance moyenne :
La puissance moyenne $P$ consommée par le dipôle est la valeur moyenne de la puissance instantanée sur une période $T$ entière :
$\displaystyle P = \frac{1}{T} \int_0^T p(t) dt = \frac{1}{T} \int_0^T U I [\cos(2\omega t + \varphi) + \cos(\varphi)] dt$
$\displaystyle P = U I \cos(\varphi) + \frac{U I}{T} \left[ \frac{\sin(2\omega t + \varphi)}{2\omega} \right]_0^T$
Puisque $\sin(2\omega T + \varphi) = \sin(4\pi + \varphi) = \sin(\varphi)$, le terme entre crochets s'annule parfaitement sur une période complète. Il ne reste donc que la partie constante de l'équation :
$$P = U \cdot I \cdot \cos(\varphi)$$
$P$ : Puissance électrique moyenne consommée (en Watt, W).
$U$ et $I$ : Valeurs efficaces de la tension et du courant.
$\cos(\varphi)$ : Terme très important appelé facteur de puissance du circuit.
Le rôle industriel (Situation de départ) :
Dans une usine, les gros moteurs se comportent comme des bobines (L). Ils créent un grand déphasage $\varphi$, ce qui fait chuter le $\cos(\varphi)$. Pour fournir une même puissance utile $P$, l'usine doit soutirer un courant $I$ gigantesque, causant des pertes par effet Joule sur les lignes de l'Office National d'Électricité.
En rajoutant des batteries de condensateurs (C) à l'entrée de l'usine, on se rapproche des conditions de résonance ($L\omega \approx \frac{1}{C\omega}$). Le déphasage $\varphi$ tend vers zéro, donc $\cos(\varphi)$ tend vers 1. La facture énergétique s'optimise !
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Vidéos complémentaires
Vidéo complémentaire
L'essentiel
Oscillations forcées : Le circuit RLC est soumis à un GBF qui impose sa fréquence $N$. Le courant $i(t)$ vibre à cette même fréquence.
Déphasage : Il existe un retard ou une avance entre la tension et le courant, calculé par $\varphi = \pm 2\pi \frac{\tau}{T}$.
Impédance : Par la construction de Fresnel, on trouve $Z = \frac{U}{I} = \sqrt{R_t^2 + (L\omega - \frac{1}{C\omega})^2}$.
Résonance d'intensité : Atteinte lorsque $N = N_0$. L'impédance est minimale ($Z = R_t$), l'intensité est maximale ($I_0 = U/R_t$), et $\varphi = 0$ (en phase).
Sélectivité : La bande passante est $\Delta N$ (où $I \ge I_0/\sqrt{2}$). Le facteur de qualité $Q = N_0 / \Delta N$ mesure l'acuité de la résonance. Faible $R_t$ = Grand $Q$ = Résonance aiguë.
Puissance : La puissance électrique moyenne consommée est $P = U \cdot I \cdot \cos(\varphi)$.
4. Enrichissement et applications
Le circuit RLC en régime forcé est fondamental dans l'électronique moderne :
Le Tuning (Syntonisation) Radio/TV : L'antenne capte des milliers d'ondes simultanément. Le circuit RLC du récepteur est réglé de telle sorte que sa fréquence de résonance $N_0$ corresponde exactement à la fréquence $N$ de la station désirée. Ainsi, seul le courant de cette station est "amplifié" (résonance d'intensité), tandis que les autres fréquences sont bloquées (grande impédance Z).
Amélioration du Facteur de Puissance industriel : Les industriels paient l'électricité en fonction du courant total soutiré. S'ils utilisent de gros moteurs (fort effet inductif L), $\cos(\varphi)$ s'effondre. Le courant soutiré devient énorme pour compenser. L'ajout de bancs de condensateurs (C) force le circuit à se rapprocher de la résonance ($\varphi \approx 0$), optimisant ainsi la facture.
Les filtres de son (Audio) : Dans une enceinte Hi-Fi, des circuits RLC forcés agissent comme des "filtres". Ils dirigent spécifiquement les basses fréquences vers le caisson de basses (Subwoofer) et les hautes fréquences vers les petits haut-parleurs (Tweeters).
Applications concrètes : Correction du facteur de puissance (industrie) et filtrage acoustique.
5. Exercices corrigés
Exercice 1 : Étude d'un dipôle RLC en régime sinusoïdal forcé
Un circuit RLC série est alimenté par un GBF délivrant une tension de la forme $u(t) = U_m \cos(2\pi N t)$. L'oscillogramme de la figure 1 représente la tension totale $u(t)$ et la tension $u_R(t)$ aux bornes du conducteur ohmique de résistance $R = 60 \ \Omega$. L'amplitude de la tension totale est $U_m = 12 \text{ V}$ et celle de $u_R(t)$ est $U_{R,m} = 6 \text{ V}$. La période du signal est mesurée à $T = 20 \text{ ms}$. Le décalage temporel entre les deux courbes est $\tau = 2,5 \text{ ms}$, et on observe clairement que $u(t)$ atteint son maximum avant $u_R(t)$.
Questions :
1 Dessiner le schéma du montage et indiquer les branchements de l'oscilloscope pour visualiser $u(t)$ sur la voie Y1 et l'image de l'intensité $i(t)$ sur la voie Y2.
2 À partir des données, déterminer la fréquence $N$ du générateur et la pulsation $\omega$ correspondante.
3 En utilisant la loi d'Ohm pour le conducteur ohmique, calculer l'intensité maximale $I_m$ du courant traversant le circuit.
4 Exprimer puis calculer l'impédance totale $Z$ de ce circuit RLC.
5 Déterminer la valeur du déphasage $\varphi$ de la tension $u(t)$ par rapport au courant $i(t)$. Ce déphasage est-il positif ou négatif ?
6 En exploitant l'expression de $\cos(\varphi)$, calculer la résistance totale $R_t$ du circuit et en déduire la valeur de la résistance interne $r$ de la bobine.
7 Le circuit est-il capacitif ou inductif ? Déduire de l'expression de $\tan(\varphi)$ l'inégalité existant entre $L\omega$ et $\frac{1}{C\omega}$.
8 Calculer la puissance moyenne $P$ consommée par le circuit RLC lors de ce fonctionnement.
Voir la solution 1
Attention.
Rappel : Pour visualiser l'intensité $i(t)$, on visualise en réalité $u_R(t)$. La masse de l'oscilloscope doit toujours être placée entre le GBF et la résistance pour avoir les bonnes références de tension.
1Schéma et branchements : Les dipôles R, L et C sont en série avec le GBF. La masse (GND) de l'oscilloscope est connectée entre le GBF et la résistance R. La voie Y1 se connecte à la borne libre du GBF (visualisation de $u(t)$). La voie Y2 se connecte à l'autre borne de la résistance R (visualisation de $-u_R$, qu'on inverse sur l'appareil avec le bouton INV pour obtenir l'image de l'intensité).
2Période et pulsation :
La fréquence est $N = \frac{1}{T} = \frac{1}{20 \cdot 10^{-3}} = \mathbf{50 \text{ Hz}}$.
La pulsation est $\omega = 2\pi N = 2\pi \times 50 = \mathbf{100\pi \text{ rad/s}}$ (soit environ $314 \text{ rad/s}$).
3Intensité maximale :
D'après la loi d'Ohm $U_{R,m} = R \cdot I_m \implies I_m = \frac{U_{R,m}}{R}$.
$I_m = \frac{6}{60} = \mathbf{0,1 \text{ A}}$.
4Impédance totale :
L'impédance du circuit est définie par le rapport des valeurs maximales : $Z = \frac{U_m}{I_m}$.
$Z = \frac{12}{0,1} = \mathbf{120 \ \Omega}$.
5Déphasage $\varphi$ :
La formule du déphasage en valeur absolue est $|\varphi| = 2\pi \frac{\tau}{T}$.
$|\varphi| = 2\pi \frac{2,5 \cdot 10^{-3}}{20 \cdot 10^{-3}} = 2\pi \left(\frac{1}{8}\right) = \mathbf{\frac{\pi}{4} \text{ rad}}$.
Puisque $u(t)$ atteint son maximum avant $u_R(t)$ (donc avant $i(t)$), la tension est en avance sur le courant. Le déphasage est donc positif : $\mathbf{\varphi = +\frac{\pi}{4} \text{ rad}}$.
6Calcul de $r$ :
On sait que $\cos(\varphi) = \frac{R_t}{Z} \implies R_t = Z \cdot \cos(\varphi)$.
$R_t = 120 \times \cos(\frac{\pi}{4}) = 120 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 60\sqrt{2} \approx 84,85 \ \Omega$.
Puisque $R_t = R + r$, on déduit : $r = R_t - R = 84,85 - 60 = \mathbf{24,85 \ \Omega}$.
7Nature du circuit :
Puisque $\varphi > 0$, l'effet de la bobine l'emporte, le circuit est globalement inductif.
Mathématiquement, $\tan(\varphi) = \frac{L\omega - \frac{1}{C\omega}}{R_t}$. Comme $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1 > 0$, le numérateur est positif, ce qui implique rigoureusement que $\mathbf{L\omega > \frac{1}{C\omega}}$.
8Puissance consommée :
La puissance moyenne est $P = U \cdot I \cdot \cos(\varphi) = \left(\frac{U_m}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{I_m}{\sqrt{2}}\right) \cos(\varphi) = \frac{U_m \cdot I_m}{2} \cos(\varphi)$.
$P = \frac{12 \times 0,1}{2} \times \cos(\frac{\pi}{4}) = 0,6 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \approx \mathbf{0,424 \text{ W}}$.
Exercice 2 : Exploitation de la courbe de résonance $I = f(N)$
On applique aux bornes du dipôle RLC précédent une tension efficace constante $U$. On fait varier la fréquence $N$ du générateur et on relève l'intensité efficace $I$ traversant le circuit. Le tracé de la courbe de résonance $I = f(N)$ est donné ci-dessous.
Courbe de résonance d'intensité du dipôle RLC.
Questions :
1 Quel phénomène particulier est mis en évidence par le sommet de cette courbe ?
2 Par exploitation graphique du document, déterminer la valeur de la fréquence de résonance $N_0$.
3 Lire graphiquement la valeur de l'intensité efficace maximale $I_0$ à la résonance.
4 Sachant que la tension efficace appliquée par le GBF est $U = 10 \text{ V}$, déduire de l'intensité maximale la valeur de la résistance totale $R_t$ du circuit.
5 Définir mathématiquement la bande passante à -3 dB. À quelle valeur d'intensité efficace cela correspond-il ? (Calculer cette valeur).
6 Déterminer graphiquement la largeur de la bande passante $\Delta N$.
7 Calculer la valeur du facteur de qualité $Q$. Que peut-on conclure sur la sélectivité (acuité) de ce circuit ?
8 Sachant qu'à la résonance le déphasage est nul ($\varphi = 0$), calculer la puissance électrique moyenne totale $P$ consommée par le circuit à cet instant précis.
Voir la solution 2
Attention.
Le facteur de qualité $Q$ est un excellent indicateur. S'il est supérieur à 10, la résonance est considérée comme "aiguë" (très sélective). S'il est petit, la résonance est "floue".
1Phénomène : Le sommet de la courbe met en évidence le phénomène de résonance d'intensité. L'impédance du circuit est minimale.
2Fréquence de résonance $N_0$ : Sur l'axe des abscisses (fréquence), à l'aplomb exact du sommet de la courbe, on lit : $N_0 = 100 \text{ Hz}$.
3Intensité maximale $I_0$ : Sur l'axe des ordonnées, la crête du pic correspond à la valeur maximale : $I_0 = 50 \text{ mA}$ (soit $0,05 \text{ A}$).
4Résistance totale $R_t$ : À la résonance, l'impédance $Z$ est égale à la résistance totale $R_t$. Donc $I_0 = \frac{U}{R_t} \implies R_t = \frac{U}{I_0}$.
$R_t = \frac{10}{0,05} = \mathbf{200 \ \Omega}$.
5Bande passante : La bande passante correspond à l'intervalle de fréquences où l'intensité est $I \ge \frac{I_0}{\sqrt{2}}$.
Valeur limite : $I_{limite} = \frac{50}{\sqrt{2}} \approx \mathbf{35,3 \text{ mA}}$.
6Largeur de la bande $\Delta N$ : Sur le graphe, on trace une ligne horizontale à $I = 35,3 \text{ mA}$. Elle coupe la courbe en deux points $N_1$ et $N_2$.
On lit approximativement $N_1 \approx 95 \text{ Hz}$ et $N_2 \approx 105 \text{ Hz}$.
La largeur est $\Delta N = N_2 - N_1 = 105 - 95 = \mathbf{10 \text{ Hz}}$.
7Facteur de qualité $Q$ :
$Q = \frac{N_0}{\Delta N} = \frac{100}{10} = \mathbf{10}$.
Puisque $Q$ est relativement grand ($\ge 10$), on conclut que la résonance est aiguë et le circuit est sélectif.
8Puissance moyenne :
La formule de la puissance moyenne est $P = U \cdot I \cdot \cos(\varphi)$.
À la résonance, $I = I_0 = 0,05 \text{ A}$ et $\cos(0) = 1$ (facteur de puissance maximal).
$P = 10 \times 0,05 \times 1 = \mathbf{0,5 \text{ W}}$.
6. QCM : 30 questions
7. Fiches d'expériences
Pour les enseignants et pour préparer les travaux pratiques.
Réponse d'un circuit RLC en régime forcé
Identification
Partie
Physique
Unité
Oscillations forcées dans un circuit RLC série
Titre
Visualisation des tensions et mise en évidence du régime forcé
Durée
30 minutes
Cadre pédagogique
Objectifs de l'expérience
Précautions et orientations
Conseils techniques
Mettre en évidence le régime forcé d'un circuit RLC série.
Visualiser simultanément la tension excitatrice et l'intensité.
Constater l'égalité des fréquences.
Masse de l'oscilloscope : Doit impérativement être placée entre le GBF et la résistance R.
Attention aux courts-circuits avec la masse.
Utiliser le bouton d'inversion (INV) sur la voie Y2 si elle mesure $-u_R(t)$.
Ajuster la base de temps pour voir 2 à 3 périodes.
Dispositif expérimental
Montage expérimental
Montage expérimental des oscillations forcées avec connexions Y1/Y2.
Matériel
Générateur Basse Fréquence (GBF), condensateur $C$, bobine $(L, r)$, conducteur ohmique $R$, oscilloscope bicourbe, fils de connexion.
Déroulement et exploitation
Étapes expérimentales
Questions de l'activité
Résultats attendus
Réponses & Conclusions
1. Réaliser le montage en série et connecter le GBF (l'excitateur).
1. Pourquoi visualise-t-on $u_R(t)$ sur la voie Y2 ? Que représente cette courbe concrètement ?
Affichage de deux courbes sinusoïdales à l'écran.
D'après la loi d'Ohm ($u_R = R \cdot i$), $u_R(t)$ est l'image exacte des variations de l'intensité $i(t)$.
2. Visualiser $u(t)$ sur Y1 et $u_R(t)$ sur Y2. Ajuster l'amplitude.
2. En observant l'écran, que peut-on dire sur la fréquence des deux signaux ?
Les deux courbes s'annulent et se répètent à des intervalles de temps identiques.
L'intensité $i(t)$ dans le résonateur a exactement la même fréquence $N$ que la tension imposée par le GBF.
3. Mesurer le décalage temporel $\tau$ entre les crêtes.
3. Comment qualifie-t-on le décalage observé entre les deux ondes ?
Les sommets ne coïncident pas verticalement.
Les courbes sont déphasées. Le circuit est obligé de vibrer au rythme du générateur : c'est le régime forcé.
Bilan et évaluation
Bilan de l'expérience
Dans un circuit RLC en régime forcé, le générateur (excitateur) impose sa propre fréquence $N$ au circuit (résonateur). L'intensité du courant qui s'établit vibre avec la même fréquence que la tension d'alimentation, mais elle présente généralement un déphasage par rapport à cette dernière.
Questions d'évaluation
Q1. Quel dipôle joue le rôle d'excitateur dans ce montage ?
Q2. Quelle loi physique permet de dire que $u_R(t)$ et $i(t)$ ont la même allure ?
Q3. Comment calcule-t-on le déphasage $\varphi$ à partir du décalage temporel $\tau$ ?
Phénomène de résonance d'intensité
Identification
Partie
Physique
Unité
Oscillations forcées dans un circuit RLC série
Titre
Tracé de la courbe de résonance et détermination de la bande passante
Durée
40 minutes
Cadre pédagogique
Objectifs de l'expérience
Précautions et orientations
Conseils techniques
Tracer la courbe de résonance $I = f(N)$.
Déterminer la fréquence de résonance $N_0$.
Évaluer la sélectivité via la bande passante $\Delta N$.
Crucial : Maintenir la tension efficace $U$ du GBF strictement constante tout au long des mesures.
Resserrer les mesures de fréquence (pas plus petit) à l'approche du pic de résonance.
Utiliser un ampèremètre en mode alternatif (AC).
Dispositif expérimental
Graphes et Analyses
Courbe de résonance d'intensité $I = f(N)$.Bande passante et fréquences de coupure.
1. Fixer une tension $U$, puis faire varier la fréquence $N$ du GBF progressivement.
1. Comment évolue l'intensité du courant lorsqu'on fait varier la fréquence de $0$ vers l'infini ?
$I$ augmente, atteint un pic bien défini, puis redescend.
L'intensité est faible aux extrêmes. Elle passe par un maximum absolu pour une fréquence précise.
2. Relever les valeurs d'intensité $I$ et tracer la courbe $I = f(N)$.
2. Que représente concrètement le sommet de cette courbe ?
La courbe présente une cloche. L'impédance du circuit est minimale.
C'est le phénomène de résonance d'intensité. La fréquence correspondante est la fréquence de résonance $N_0$.
3. Repérer la valeur $I_0 / \sqrt{2}$ pour mesurer la bande passante.
3. Comment détermine-t-on l'acuité (ou sélectivité) de ce circuit ?
On obtient un intervalle de fréquences $\Delta N = N_2 - N_1$.
La sélectivité est évaluée par le facteur de qualité $Q = N_0 / \Delta N$. Plus $Q$ est grand, plus le pic est aigu.
Bilan et évaluation
Bilan de l'expérience
Lorsqu'on ajuste la fréquence d'excitation, le circuit RLC atteint un état de résonance d'intensité à la fréquence $N_0$. L'impédance est alors minimale ($Z = R_t$) et l'intensité est maximale. L'acuité de cette résonance dépend de la résistance du circuit : une faible résistance donne une résonance aiguë (circuit très sélectif).
Questions d'évaluation
Q1. Que vaut le déphasage $\varphi$ entre tension et intensité à la résonance ?
Q2. Comment calcule-t-on théoriquement la fréquence de résonance $N_0$ ?
Q3. Quel est l'effet de l'augmentation de la résistance $R$ sur la courbe de résonance ?
8. Documents à télécharger
Supports imprimables : activités, exercices et figures
