Document : Situation de départ

Un élève passionné d'électronique tente de capter clairement une chaîne radio nationale (SNRT) sur un ancien récepteur. Il remarque qu'il doit tourner le bouton de réglage (condensateur variable) avec une extrême précision pour isoler la fréquence unique de la station, sinon le son est parasité. Parallèlement, lors d'une visite dans une usine locale, il apprend que l'ingénieur en chef insiste pour installer de grandes "batteries de condensateurs" à l'arrivée du courant électrique afin d'éviter de lourdes pénalités financières imposées par l'office national d'électricité, bien que cela ne change pas le fonctionnement des machines.

👉 Problème : Quel est le lien physique entre la sélection précise d'une fréquence radio (sélectivité) et l'optimisation de la facture énergétique industrielle (facteur de puissance) ? Comment l'ajustement de la capacité C influence-t-il le comportement global du circuit face à une excitation alternative ?

Activité expérimentale 1 : Réponse d'un circuit RLC

On réalise un montage en série comprenant un GBF (l'excitateur) délivrant une tension sinusoïdale, un condensateur de capacité $C$, une bobine $(L, r)$ et un conducteur ohmique de résistance $R$. L'ensemble (R,L,C) forme le résonateur. On visualise à l'oscilloscope la tension totale $u(t)$ du GBF sur la voie Y1 et la tension $u_R(t)$ sur la voie Y2.

Questions :

1 Pourquoi visualise-t-on $u_R(t)$ sur la voie Y2 ? Que représente cette courbe concrètement ?

2 En observant l'écran de l'oscilloscope, que peut-on dire sur la fréquence des deux signaux (tension du GBF et courant du circuit) ?

Activité expérimentale 2 : Variation de la fréquence N

On maintient la tension efficace $U$ du générateur constante. On fait varier progressivement la fréquence $N$ du GBF et on mesure l'intensité efficace $I$ traversant le circuit RLC. On trace ensuite la courbe de l'intensité en fonction de la fréquence : $I = f(N)$.

Questions :

1 Comment évolue l'intensité du courant lorsqu'on fait varier la fréquence depuis 0 jusqu'à des valeurs élevées ?

2 Que représente le sommet de la courbe ?

Exercice 1 : Étude d'un dipôle RLC en régime sinusoïdal forcé

Un circuit RLC série est alimenté par un GBF délivrant une tension de la forme $u(t) = U_m \cos(2\pi N t)$. L'oscillogramme de la figure 1 représente la tension totale $u(t)$ et la tension $u_R(t)$ aux bornes du conducteur ohmique de résistance $R = 60 \ \Omega$. L'amplitude de la tension totale est $U_m = 12 \text{ V}$ et celle de $u_R(t)$ est $U_{R,m} = 6 \text{ V}$. La période du signal est mesurée à $T = 20 \text{ ms}$. Le décalage temporel entre les deux courbes est $\tau = 2,5 \text{ ms}$, et on observe clairement que $u(t)$ atteint son maximum avant $u_R(t)$.

Questions :

1 Dessiner le schéma du montage et indiquer les branchements de l'oscilloscope pour visualiser $u(t)$ sur la voie Y1 et l'image de l'intensité $i(t)$ sur la voie Y2.

2 À partir des données, déterminer la fréquence $N$ du générateur et la pulsation $\omega$ correspondante.

3 En utilisant la loi d'Ohm pour le conducteur ohmique, calculer l'intensité maximale $I_m$ du courant traversant le circuit.

4 Exprimer puis calculer l'impédance totale $Z$ de ce circuit RLC.

5 Déterminer la valeur du déphasage $\varphi$ de la tension $u(t)$ par rapport au courant $i(t)$. Ce déphasage est-il positif ou négatif ?

6 En exploitant l'expression de $\cos(\varphi)$, calculer la résistance totale $R_t$ du circuit et en déduire la valeur de la résistance interne $r$ de la bobine.

7 Le circuit est-il capacitif ou inductif ? Déduire de l'expression de $\tan(\varphi)$ l'inégalité existant entre $L\omega$ et $\frac{1}{C\omega}$.

8 Calculer la puissance moyenne $P$ consommée par le circuit RLC lors de ce fonctionnement.

Exercice 2 : Exploitation de la courbe de résonance $I = f(N)$

On applique aux bornes du dipôle RLC précédent une tension efficace constante $U$. On fait varier la fréquence $N$ du générateur et on relève l'intensité efficace $I$ traversant le circuit. Le tracé de la courbe de résonance $I = f(N)$ est donné ci-dessous.

Questions :

1 Quel phénomène particulier est mis en évidence par le sommet de cette courbe ?

2 Par exploitation graphique du document, déterminer la valeur de la fréquence de résonance $N_0$.

3 Lire graphiquement la valeur de l'intensité efficace maximale $I_0$ à la résonance.

4 Sachant que la tension efficace appliquée par le GBF est $U = 10 \text{ V}$, déduire de l'intensité maximale la valeur de la résistance totale $R_t$ du circuit.

5 Définir mathématiquement la bande passante à -3 dB. À quelle valeur d'intensité efficace cela correspond-il ? (Calculer cette valeur).

6 Déterminer graphiquement la largeur de la bande passante $\Delta N$.

7 Calculer la valeur du facteur de qualité $Q$. Que peut-on conclure sur la sélectivité (acuité) de ce circuit ?

8 Sachant qu'à la résonance le déphasage est nul ($\varphi = 0$), calculer la puissance électrique moyenne totale $P$ consommée par le circuit à cet instant précis.