Pour 2BAC PC2BAC SVT2BAC SMMis à jour le 15 octobre 2026
Objectifs pédagogiques
Connaître la représentation symbolique de la bobine et sa convention.
Connaître et exploiter l'expression de la tension aux bornes d'une bobine $u_L = r \cdot i + L \frac{di}{dt}$.
Établir (l'équation différentielle + solution) régissant l'évolution du courant lors de son établissement et de sa rupture.
Connaître l'expression de la constante de temps $\tau = \frac{L}{R_{eq}}$ et savoir la déterminer graphiquement.
Savoir que la bobine emmagasine de l'énergie magnétique $E_m = \frac{1}{2} L \cdot i^2$.
Compétences visées
Expliquer le retard à l'établissement et à l'annulation du courant causé par la bobine.
Exploiter des courbes expérimentales pour déduire l'influence de $R$ et $L$.
Utiliser l'analyse dimensionnelle pour vérifier l'unité de $\tau$.
Résoudre mathématiquement l'équation différentielle pour extraire les constantes.
Vérifiez vos prérequis
Que stipule la loi d'Ohm pour un conducteur ohmique ?
La tension $u_R$ aux bornes d'un conducteur ohmique de résistance $R$ est directement proportionnelle à l'intensité du courant $i$ qui le traverse : $u_R = R \cdot i$.
Quelles sont les caractéristiques du champ magnétique créé par une bobine ?
Le champ magnétique créé par une bobine est semblable à celui d’un aimant droit. À l’intérieur de la bobine, les lignes de champ sont parallèles, rectilignes et presque uniformes. À l’extérieur, elles sortent du pôle nord et entrent par le pôle sud. L’intensité du champ augmente avec l’intensité du courant et le nombre de spires.
Comment calcule-t-on la résistance équivalente $R_{eq}$ de plusieurs conducteurs ohmiques montés en série ?
Lors d'une association en série, la résistance équivalente est égale à la somme des résistances : $R_{eq} = R_1 + R_2 + ... + R_n$.
Quelle est l'expression de la tension aux bornes d'un générateur idéal de tension ?
Pour un générateur idéal, sa résistance interne est nulle ($r = 0$). La tension à ses bornes reste constante et égale à sa force électromotrice : $U = E$.
Situation de départ
Dans une grande station de conditionnement d'agrumes destinés à l'exportation au Maroc, le responsable technique constate deux phénomènes sur les moteurs électriques des tapis roulants et des pompes :
1) Lors de la mise en marche (fermeture de l'interrupteur), les moteurs démarrent avec un léger retard avant d'atteindre leur régime nominal.
2) Plus dangereux, lors de l'arrêt d'urgence (ouverture de l'interrupteur), une étincelle vive apparaît souvent au niveau du contacteur, risquant de déclencher un incendie ou d'endommager le matériel.
Problème : Comment expliquer cette "inertie" au démarrage et l'apparition de cette étincelle dangereuse à l'arrêt ? Quel composant électrique dans le moteur en est la cause et comment le modéliser pour protéger l'installation ?
Les moteurs industriels contiennent des enroulements de fils de cuivre générant des phénomènes d'inertie électrique.
1. La bobine : définition et comportement
Le rôle d'une bobine dans un circuit électrique
Activité expérimentale 1 : Influence d'une bobine dans un circuit
On réalise un circuit électrique comportant un générateur de tension, un interrupteur $K$ et deux branches montées en parallèle :
- La branche 1 contient un conducteur ohmique de résistance $R$ en série avec une lampe $L_1$.
- La branche 2 contient une bobine (d'inductance $L$ et de résistance interne $r = R$) en série avec une lampe $L_2$ identique à $L_1$.
Montage comparatif : Branche 1 (Résistance) vs Branche 2 (Bobine).
Questions :
1 Lors de la fermeture de l'interrupteur, on observe que la lampe $L_1$ s'allume instantanément, tandis que la lampe $L_2$ s'allume progressivement avec un retard. Comment expliquer ce retard ?
2 Lors de l'ouverture brusque de l'interrupteur, on peut observer une étincelle au niveau du contact. Quel est le rôle de la bobine dans ce phénomène ?
3 Déduire la propriété fondamentale de la bobine dans un circuit électrique.
Voir les réponses
1 Le retard à l'allumage de la lampe $L_2$ prouve que le courant électrique ne s'établit pas instantanément dans la branche contenant la bobine. La bobine s'oppose à l'apparition (établissement) du courant.
2 L'étincelle montre que le courant essaie de continuer à circuler malgré l'ouverture du circuit. La bobine s'oppose à la disparition (rupture) du courant, créant une surtension brève mais intense.
3Conclusion : Une bobine s'oppose toujours aux variations de l'intensité du courant électrique dans le circuit où elle se trouve. Elle introduit une "inertie" électrique.
Définition et symbole
Une bobine est un dipôle passif constitué par un enroulement cylindrique d'un long fil conducteur (généralement en cuivre) recouvert d'un vernis isolant.
Elle est caractérisée par deux grandeurs physiques fondamentales :
Son inductance $L$, qui s'exprime en Henry (H). Elle traduit la capacité de la bobine à s'opposer aux variations du courant.
Sa résistance interne $r$, qui s'exprime en Ohm ($\Omega$).
Symbole normalisé de la bobine (L, r) en convention récepteur.
Tension aux bornes d'une bobine
Ouvrir la simulation : Tension aux bornes d'une bobine
Activité expérimentale 2 : Expression de la tension $u_L$
Partie A : Régime continu (Courant constant)
On alimente une bobine (L, r) par un générateur de tension continue. On mesure l'intensité $I$ et la tension $U_{ab}$ en régime permanent.
Montage d'étude de la bobine en régime de courant continu.
Tableau de mesures :
$I \text{ (A)}$
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
$U_{ab} \text{ (V)}$
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Partie B : Régime variable (Courant triangulaire)
On alimente un circuit série (Bobine + Résistor $R$) par un générateur GBF délivrant une tension alternative triangulaire. On visualise sur l'oscilloscope la tension $u_R$ (qui est l'image du courant $i$) et la tension $u_L$ aux bornes de la bobine.
Montage d'étude de la bobine en régime variable (courant triangulaire).
Questions :
1 Pour le régime continu, tracer l'allure de la courbe $U_{ab} = f(I)$ et déduire l'expression de la tension. Comment se comporte la bobine ?
2 La voie $Y_1$ de l'oscilloscope visualise la tension $u_R(t)$. Comment peut-on déduire l'évolution de l'intensité du courant $i(t)$ à partir de cette courbe ?
3 Pour le régime variable, sachant que la dérivée mathématique d'une fonction affine (droite) est une constante (créneau), et en utilisant la relation entre $u_L$ et $\frac{du_R}{dt}$, quelle relation mathématique lie la tension $u_L$ aux variations du courant $i$ ?
4 En combinant les deux régimes, déduire l'expression générale de la tension aux bornes d'une bobine réelle.
Oscillogramme : La tension $u_R(t)$ est triangulaire, la tension $u_L(t)$ est en créneaux (carrée).
Voir les réponses
1 En traçant $U_{ab} = f(I)$, on obtient une droite linéaire passant par l'origine. Le coefficient directeur correspond à la résistance interne $r$. Donc, en courant continu (où $I$ est constant), la tension est $U_{ab} = r \cdot I$. Conclusion : En régime permanent continu, la bobine se comporte comme un simple conducteur ohmique de résistance $r$.
2 D'après la loi d'Ohm pour le conducteur ohmique, on a $u_R(t) = R \cdot i(t)$, donc $i(t) = \frac{u_R(t)}{R}$. La tension $u_R(t)$ et l'intensité $i(t)$ sont proportionnelles. Ainsi, la courbe de $u_R(t)$ visualisée sur l'oscilloscope est l'image exacte (à la constante $\frac{1}{R}$ près) des variations de l'intensité du courant $i(t)$.
3 L'oscillogramme shows montre que lorsque $u_R(t)$ (et donc $i(t)$) augmente linéairement, $u_L(t)$ est une constante positive. Lorsque $i(t)$ diminue linéairement, $u_L(t)$ est une constante négative. Ceci prouve que la tension est proportionnelle à la dérivée de l'intensité par rapport au temps. La constante de proportionnalité est l'inductance $L$. Donc $u_L = L \cdot \frac{di}{dt}$ (pour une bobine de résistance interne négligeable).
4 En réunissant la résistance interne et le phénomène d'induction dû aux variations, l'expression générale est :
$u_L = r \cdot i + L \cdot \frac{di}{dt}$
.
En convention récepteur, l'expression mathématique de la tension aux bornes d'une bobine d'inductance $L$ et de résistance interne $r$ traversée par un courant d'intensité $i$ est :
$$u_L = r \cdot i + L \cdot \frac{di}{dt}$$
$u_L$ : Tension en Volt (V).
$r \cdot i$ : Chute de tension ohmique interne.
$L \cdot \frac{di}{dt}$ : Force électromotrice d'auto-induction (s'oppose aux variations du courant).
Cas particuliers :
Si la bobine est considérée idéale (ou parfaite), sa résistance interne est négligeable ($r \approx 0$). Alors : $u_L = L \cdot \frac{di}{dt}$.
En régime permanent continu, l'intensité $I$ est constante. Sa dérivée est nulle ($\frac{di}{dt} = 0$). La bobine se comporte comme un conducteur ohmique : $u_L = r \cdot I$.
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2. Réponse du dipôle RL à un échelon de tension
L'association en série d'un conducteur ohmique (R) et d'une bobine (L, r) forme un Dipôle RL.
Le dipôle RL monté en série.
Pour étudier son comportement dynamique, on le soumet à un échelon de tension. Cela signifie qu'on applique brusquement une tension constante $E$ (créant un échelon montant pour établir le courant), puis on annule brusquement cette tension (créant un échelon descendant pour rompre le courant).
L'échelon de tension : passage instantané de 0 à E, puis de E à 0.
Établissement du courant (Échelon montant)
Réponse du circuit RL lors de la fermeture de l'interrupteur
Ouvrir la simulation : Établissement du courant (Échelon montant)
On réalise le circuit ci-dessous. À l'instant $t=0$, on ferme l'interrupteur $K$ pour appliquer la tension $E$. Un système d'acquisition informatisé trace l'évolution de l'intensité $i(t)$ dans le circuit.
Circuit d'étude de l'établissement du courant (K fermé).
Questions :
1 Observer la courbe de $i(t)$. Identifier les deux régimes de fonctionnement et nommer la phase où l'effet de la bobine est visible.
2 Pour identifier les facteurs influençant la rapidité de cet établissement, on modifie $R$ puis $L$. D'après les courbes résultantes, quel est l'effet d'une augmentation de $L$ ? Quel est l'effet d'une augmentation de la résistance totale du circuit ?
Voir les réponses
1 La courbe montre que le courant ne passe pas instantanément de 0 à sa valeur maximale. Il y a un régime transitoire (où $i(t)$ augmente progressivement) et un régime permanent (où $i(t)$ reste constant). C'est dans le régime transitoire que la bobine s'oppose à la variation du courant.
Régime transitoire (évolution) et régime permanent (stabilisation).
2Analyse des facteurs :
- L'augmentation de l'inductance $L$ ralentit l'établissement du courant (la courbe s'aplatit et met plus de temps à atteindre le palier).
- L'augmentation de la résistance $R$ accélère l'établissement du courant (la courbe monte plus vite, bien que l'intensité maximale atteinte soit plus faible).
Le temps d'établissement dépend donc du rapport entre $L$ et $R_{totale}$.
Influence de $R$ et $L$ : L'inertie augmente avec $L$ et diminue avec $R$.
a. Équation différentielle vérifiée par i(t) :
En appliquant la loi d'additivité des tensions dans la maille :
$E = u_R + u_L$
On remplace les tensions par leurs expressions ($u_R = R \cdot i$ et $u_L = r \cdot i + L \frac{di}{dt}$) :
$E = R \cdot i + r \cdot i + L \frac{di}{dt}$
En factorisant par $i$ et en posant $R_{eq} = R + r$ (résistance totale du circuit) :
$$L \frac{di}{dt} + R_{eq} \cdot i = E$$
Attention.
Il est courant de diviser toute l'équation par $R_{eq}$ pour faire apparaître le rapport $\frac{L}{R_{eq}}$ devant la dérivée, qui correspondra à la constante de temps. L'équation devient : $\frac{L}{R_{eq}} \frac{di}{dt} + i = \frac{E}{R_{eq}}$.
b. Solution de l'équation différentielle (Démonstration) :
La solution mathématique générale est de la forme : $i(t) = A \cdot e^{-\alpha \cdot t} + B$ avec $A, B$ et $\alpha$ des constantes positives.
Remplacement : $L(-A \cdot \alpha \cdot e^{-\alpha \cdot t}) + R_{eq}(A \cdot e^{-\alpha \cdot t} + B) = E$
$A \cdot e^{-\alpha \cdot t} (R_{eq} - L \cdot \alpha) + R_{eq} \cdot B - E = 0$
Déduction : Pour valider l'équation à tout instant $t$ :
$R_{eq} - L \cdot \alpha = 0 \implies \alpha = \frac{R_{eq}}{L}$
$R_{eq} \cdot B - E = 0 \implies B = \frac{E}{R_{eq}}$
Condition initiale : À $t=0$, la bobine s'oppose à l'apparition du courant, donc $i(0) = 0$.
$A \cdot e^0 + B = 0 \implies A = -B = -\frac{E}{R_{eq}}$.
En remplaçant, l'expression temporelle de l'intensité du courant est :
La tension aux bornes du résistor : $u_R(t) = R \cdot i(t) = \mathbf{R \cdot \frac{E}{R_{eq}} \left(1 - e^{-\frac{R_{eq}}{L} \cdot t}\right)}$.
La tension aux bornes de la bobine (en utilisant l'équation différentielle $u_L = E - u_R$, si $r=0$ et $R_{eq}=R$) : $u_L(t) = \mathbf{E \cdot e^{-\frac{R}{L} \cdot t}}$.
À $t=0$, $u_L$ est maximale ($E$). En fin de charge, $u_L$ devient nulle (la bobine idéale se comporte comme un fil de résistance nulle).
Évolution temporelle des grandeurs : $i(t)$ et $u_R(t)$ augmentent, tandis que $u_L(t)$ chute.
La constante de temps
Le rapport $\frac{L}{R_{eq}}$ est homogène à un temps. On l'appelle constante de temps du dipôle RL, notée $\tau$ (tau).
$$\tau = \frac{L}{R_{eq}}$$
Analyse dimensionnelle :
Montrons que $\tau$ a la dimension d'un temps.
$[\tau] = \frac{[L]}{[R]}$.
D'après la loi d'Ohm ($u = R \cdot i$), on a $[R] = \frac{[U]}{[I]}$.
D'après la relation de la bobine ($u = L \cdot \frac{di}{dt}$), on a $[L] = \frac{[U] \cdot [T]}{[I]}$.
En divisant : $[\tau] = \frac{\frac{[U] \cdot [T]}{[I]}}{\frac{[U]}{[I]}} = [T]$.
L'unité de $\tau$ dans le système international est bien la seconde (s).
Détermination graphique de $\tau$ (2 méthodes) :
Méthode mathématique (63%) : Pour $t = \tau$, le courant atteint 63% de sa valeur maximale en régime permanent $I_0$. Soit $i(\tau) = 0,63 \cdot I_0$. On repère cette valeur sur l'axe des ordonnées pour lire $\tau$ sur les abscisses.
Méthode de la tangente : L'abscisse du point d'intersection entre la tangente à la courbe à l'instant $t=0$ et l'asymptote horizontale ($i = I_0$) correspond exactement à $\tau$.
Note : Le régime permanent est pratiquement atteint à l'instant $t \approx 5 \cdot \tau$.
Détermination de $\tau$ lors de l'établissement du courant.
Rupture du courant (Échelon descendant)
Comportement du circuit RL lors de l'ouverture du circuit principal
Ouvrir la simulation : Rupture du courant (Échelon descendant)
Une fois le régime permanent atteint, on bascule l'interrupteur (ou on utilise un montage spécifique de court-circuit) pour isoler le générateur. La bobine se retrouve en circuit fermé uniquement avec le conducteur ohmique.
Circuit d'étude de l'annulation du courant (générateur court-circuité).
Questions :
1 Comment évolue l'intensité du courant après l'isolation du générateur ?
2 En observant les courbes de décharge pour différentes valeurs, comment $R$ et $L$ influencent-ils la rapidité d'annulation du courant ?
Voir les réponses
1 L'intensité du courant ne chute pas brutalement à zéro. Elle diminue de façon progressive et exponentielle. La bobine agit temporairement comme un générateur pour maintenir le courant dans son sens initial.
2 L'annulation du courant est d'autant plus lente que l'inductance $L$ est grande, et d'autant plus rapide que la résistance $R_{eq}$ est grande. L'inertie est donc maintenue par $L$ et dissipée par $R$.
Influence de $R$ et $L$ : L'annulation du courant vers 0 dépend de la constante $\tau = L/R$.
a. Équation différentielle :
Sans le générateur ($E=0$), la loi d'additivité des tensions donne :
$u_R + u_L = 0$
Ce qui conduit à :
$$L \frac{di}{dt} + R_{eq} \cdot i = 0$$
b. Solution de l'équation :
La solution est de la forme $i(t) = A \cdot e^{-\alpha \cdot t}$. On trouve $\alpha = \frac{R_{eq}}{L} = \frac{1}{\tau}$.
À $t=0$, le courant circulant valait $I_0 = \frac{E}{R_{eq}}$. Donc $A = I_0$.
L'expression de l'intensité est une exponentielle décroissante pure :
$u_L(t) = L \frac{di}{dt} = \mathbf{-L \cdot \frac{I_0}{\tau} \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}}$.
La tension $u_L$ devient brutalement négative (inversion de polarité car la bobine devient générateur) puis tend vers 0.
Évolution lors de la rupture : $i(t)$ et $u_R$ diminuent, $u_L$ est négative.
Détermination graphique de $\tau$ pour l'annulation :
Méthode mathématique (37%) : Pour $t = \tau$, le courant a chuté de 63% par relative à sa valeur initiale $I_0$. Il ne reste donc que 37% de $I_0$. On lit l'abscisse correspondant à l'ordonnée $0,37 \cdot I_0$.
Méthode de la tangente : L'intersection de la tangente à l'origine ($t=0$) avec l'axe des abscisses (où $i=0$) donne la valeur de $\tau$.
Méthodes graphiques pour $\tau$ (lecture à 0.37 I0 et tangente).
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3. Énergie emmagasinée dans une bobine
Expérience illustrant la restitution de l'énergie de la bobine
Ouvrir la simulation : Énergie emmagasinée dans une bobine
Pour prouver qu'une bobine stocke de l'énergie, on réalise un montage où une bobine est alimentée en parallèle avec un petit moteur relié à une diode. En régime permanent, la diode est bloquée et le moteur ne tourne pas. Lorsqu'on ouvre brutalement l'interrupteur, on observe que le moteur se met brièvement à tourner. Ce travail mécanique est la preuve que la bobine a restitué l'énergie qu'elle avait stockée sous forme magnétique durant le passage du courant.
La bobine libère son énergie et fait tourner le moteur après l'ouverture de K.
Expression de l'énergie magnétique ($E_m$)
Démonstration mathématique :
La puissance électrique reçue par la bobine est : $P = u_L \cdot i$.
En remplaçant $u_L$ par son expression : $P = (r \cdot i + L \frac{di}{dt}) \cdot i = r \cdot i^2 + L \cdot i \frac{di}{dt}$.
Le premier terme ($r \cdot i^2$) correspond à la puissance dissipée sous forme de chaleur par effet Joule dans la résistance interne.
Le second terme ($L \cdot i \frac{di}{dt}$) correspond à la puissance emmagasinée. Or, mathématiquement, $i \cdot \frac{di}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{1}{2} i^2)$.
Donc la puissance magnétique s'écrit : $P_m = \frac{d}{dt}(\frac{1}{2} L \cdot i^2)$.
Puisque la puissance est la dérivée de l'énergie ($P_m = \frac{dE_m}{dt}$), on identifie directement l'expression de l'énergie magnétique emmagasinée $E_m$ :
$$E_m = \frac{1}{2} \cdot L \cdot i^2$$
$E_m$ : Énergie magnétique stockée, en Joules (J).
$L$ : Inductance de la bobine, en Henrys (H).
$i$ : Intensité du courant traversant la bobine, en Ampères (A).
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Vidéos complémentaires
Vidéo complémentaire
L'essentiel
La bobine : Dipôle caractérisé par son inductance $L$ et sa résistance interne $r$. Elle s'oppose à toute variation du courant. La tension à ses bornes est $u_L = ri + L\frac{di}{dt}$.
Constante de temps : $\tau = \frac{L}{R_{eq}}$. Elle caractérise la durée du régime transitoire (le régime permanent est atteint vers $5\tau$).
Énergie : La bobine stocke une énergie purement magnétique : $E_m = \frac{1}{2} L i^2$.
4. Enrichissement et applications
Le dipôle RL et les bobines sont essentiels dans la production, le transport et l'utilisation de l'électricité à travers le monde :
Les électroaimants : En injectant un courant continu dans une énorme bobine, on crée un champ magnétique surpuissant capable de soulever des tonnes de ferraille dans les sites industriels ou les ports.
L'allumage des moteurs (Bougies) : Comme évoqué dans la situation de départ, l'étincelle dangereuse lors de la rupture du courant est en réalité exploitée positivement dans les voitures à essence. La "bobine d'allumage" crée une surtension volontaire de plusieurs milliers de volts pour générer l'étincelle de la bougie qui enflamme l'essence.
Les transformateurs : Composés de deux bobines couplées, ils permettent d'élever ou d'abaisser les tensions alternatives, rendant possible le transport de l'électricité sur de très longues distances avec un minimum de pertes.
Le filtrage (Lissage) : Associée à des condensateurs, la bobine (souvent appelée "self de lissage") permet d'aplatir un courant variable pour le rendre parfaitement continu, ce qui est crucial dans l'alimentation de nos ordinateurs et téléphones.
Applications des bobines : Levage magnétique et création d'étincelles commandées.
Recherche d'approfondissement
Pour aller plus loin et développer votre culture technologique, cherchez les réponses à ces sujets :
La diode de roue libre : Comment un simple petit composant (la diode) permet-il de supprimer complètement les étincelles destructrices aux bornes des interrupteurs commandant des moteurs (bobines) ?
Les trains à sustentation magnétique (Maglev) : Comment l'utilisation de bobines supraconductrices permet-elle de faire léviter un train à plus de 500 km/h sans frottement ?
La RFID et le paiement sans contact : Comment l'induction magnétique entre la bobine du terminal de paiement et la minuscule bobine de votre carte bancaire permet-elle de transmettre l'énergie et les données ?
5. Exercices corrigés
Exercice 1 : Étude de la réponse du dipôle RL par suivi de $u_R(t)$
On réalise un montage en série comprenant un générateur idéal de tension continue $E$, un interrupteur $K$, un conducteur ohmique de résistance $R = 90 \Omega$ et une bobine d'inductance $L$ et de résistance interne $r$. À $t=0$, on ferme le circuit. Un système d'acquisition enregistre la tension $u_R(t)$ aux bornes du conducteur ohmique.
Figure 1 : Circuit expérimental et évolution de la tension $u_R(t)$ image de l'intensité.
Questions :
1 Reproduire le schéma du circuit en indiquant le sens du courant et les flèches des tensions $u_R$ et $u_L$ en convention récepteur.
2 Indiquer sur le schéma comment brancher un oscilloscope pour visualiser l'évolution de l'intensité du courant $i(t)$ de manière indirecte. Justifier ce choix.
3 En appliquant la loi d'additivité des tensions, établir l'équation différentielle vérifiée par la tension $u_R(t)$.
4 D'après la courbe, déterminer la valeur de la tension maximale $U_{R,max}$ en régime permanent. En déduire l'intensité maximale $I_0$.
5 Sachant que $E = 12 \text{ V}$, déterminer la valeur de la résistance interne $r$ de la bobine.
6 Déterminer graphiquement la valeur de la constante de temps $\tau$, puis calculer la valeur de l'inductance $L$.
7 Si l'on remplace le conducteur ohmique par un autre de résistance $R' = 180 \Omega$, comment sera modifiée la durée du régime transitoire ?
Voir la solution 1
Attention.
Puisque $u_R = R \cdot i$, visualiser $u_R$ sur l'oscilloscope revient à visualiser l'image directe de l'intensité $i(t)$ multipliée par une constante R.
1Schéma : Le courant sort par le pôle (+). Les flèches de $u_R$ et $u_L$ pointent dans le sens opposé à la flèche du courant $i$.
2Oscilloscope : Pour voir l'image de $i(t)$, il faut visualiser $u_R$. On place la masse de l'oscilloscope entre le générateur et la résistance, et la voie $Y_1$ entre la résistance et la bobine (ou inversement selon le pôle relié à la masse du générateur). Justification : $u_R(t)$ est proportionnelle à $i(t)$ d'après la loi d'Ohm.
3Équation différentielle pour $u_R$ :
Loi des mailles : $u_L + u_R = E \implies r \cdot i + L \frac{di}{dt} + u_R = E$.
On sait que $i = \frac{u_R}{R}$ et $\frac{di}{dt} = \frac{1}{R} \frac{du_R}{dt}$.
En remplaçant : $r \frac{u_R}{R} + \frac{L}{R} \frac{du_R}{dt} + u_R = E$.
En multipliant tout par $R$ et en factorisant $u_R$ :
5Calcul de $r$ : En régime permanent, la bobine agit comme une simple résistance $r$. L'équation de la maille devient : $(R+r) I_0 = E$.
$R+r = \frac{E}{I_0} \implies r = \frac{E}{I_0} - R = \frac{12}{0,1} - 90 = 120 - 90 = \mathbf{30 \Omega}$.
6Détermination de L : L'abscisse de l'intersection de la tangente à l'origine avec l'asymptote horizontale donne $\tau \approx 1,0 \text{ ms} = 10^{-3} \text{ s}$.
Or $\tau = \frac{L}{R+r} \implies L = \tau \cdot (R+r) = 10^{-3} \times (90 + 30) = 10^{-3} \times 120 = \mathbf{0,12 \text{ H}}$.
7Modification de R : Si $R$ augmente à $180 \Omega$, la nouvelle constante de temps $\tau' = \frac{L}{R'+r}$ sera plus petite. La durée du régime transitoire (environ $5\tau$) sera donc plus courte (le courant s'établira plus vite).
Exercice 2 : Exploitation de la courbe $\frac{di}{dt} = f(i)$
Lors de l'étude de l'établissement du courant dans un circuit série (Générateur $E$, Bobine $(L, r)$, Résistor $R = 40 \Omega$), un logiciel adapté permet de tracer l'évolution de la dérivée de l'intensité $\frac{di}{dt}$ en fonction de l'intensité $i$ du courant.
Figure 2 : Courbe affine $\frac{di}{dt} = f(i)$ permettant d'extraire les paramètres de la bobine.
Questions :
1 Établir l'équation différentielle vérifiée par l'intensité $i(t)$.
2 À partir de cette équation, exprimer $\frac{di}{dt}$ sous la forme d'une fonction affine de $i$ : $\frac{di}{dt} = A \cdot i + B$. Donner les expressions de $A$ et $B$ en fonction des paramètres du circuit.
3 En exploitant le graphique, déterminer la valeur numérique de la constante $B$ (ordonnée à l'origine).
4 En exploitant le graphique, déterminer la valeur de l'intensité en régime permanent $I_0$ (abscisse où la dérivée s'annule).
5 Calculer le coefficient directeur de la droite et en déduire la valeur de la constante de temps $\tau$.
6 Sachant que $E = 6 \text{ V}$, déduire la valeur de l'inductance $L$ de la bobine.
7 Déduire la valeur de la résistance interne $r$ de la bobine.
Voir la solution 2
Attention.
C'est une méthode d'analyse de données classique. L'équation de la droite mathématique $y = ax + b$ est identifiée à l'équation différentielle physique réarrangée pour isoler la dérivée sur l'axe Y.
1Équation différentielle : Loi des mailles : $L \frac{di}{dt} + (R+r)i = E$.
2Expression affine : On isole la dérivée :
$L \frac{di}{dt} = - (R+r)i + E \implies$
$\frac{di}{dt} = - \frac{R+r}{L} \cdot i + \frac{E}{L}$
.
Par identification : $A = - \frac{R+r}{L}$ et $B = \frac{E}{L}$.
3Ordonnée à l'origine (B) : Sur le graphe, pour $i=0$, la droite coupe l'axe des ordonnées à la valeur $150 \text{ A.s}^{-1}$. Donc $B = \frac{E}{L} = 150 \text{ A.s}^{-1}$.
4Régime permanent $I_0$ : En régime permanent, $\frac{di}{dt} = 0$. Sur le graphe, la droite coupe l'axe des abscisses à la valeur $i = 0,12 \text{ A}$. Donc $I_0 = \mathbf{0,12 \text{ A}}$.
5Constante de temps $\tau$ : Le coefficient directeur $A$ est calculé avec deux points : $(0; 150)$ et $(0,12; 0)$.
$A = \frac{0 - 150}{0,12 - 0} = \frac{-150}{0,12} = -1250 \text{ s}^{-1}$.
Or $A = - \frac{R+r}{L} = - \frac{1}{\tau}$. Donc $-\frac{1}{\tau} = -1250 \implies \tau = \frac{1}{1250} = \mathbf{0,0008 \text{ s}} = 0,8 \text{ ms}$.
Exercice 3 : Rupture du courant et suivi de la tension $u_L(t)$
On étudie la rupture du courant dans un dipôle RL. À $t=0$, on ouvre l'interrupteur du circuit d'alimentation principal, et la bobine (idéale, $r=0$) se décharge dans un conducteur ohmique $R = 50 \Omega$. Le courant initial valait $I_0 = 0,2 \text{ A}$. L'acquisition informatique fournit la courbe de l'évolution de la tension $u_L(t)$ aux bornes de la bobine lors de cette rupture.
Figure 3 : Évolution de la tension aux bornes de la bobine idéale lors de l'annulation du courant.
Questions :
1 Justifier théoriquement la valeur abrupte de $u_L$ à l'instant $t=0^+$.
2 Établir l'équation différentielle vérifiée par le courant $i(t)$ dans ce circuit de décharge.
3 En sachant que pour une bobine idéale $u_L = L \frac{di}{dt}$, déduire l'équation différentielle vérifiée par la tension $u_L(t)$.
4 Montrer que $u_L(t) = -R \cdot I_0 \cdot e^{-t/\tau}$ est solution de cette équation.
5 Vérifier par le calcul que la valeur initiale lue sur le graphe correspond bien à la formule trouvée à $t=0$.
6 Déterminer graphiquement la constante de temps $\tau$ (par la méthode mathématique à 37%).
7 Calculer la valeur de l'énergie magnétique qui a été dissipée entre l'instant $t=0$ et l'instant $t=\tau$.
Voir la solution 3
Attention.
Lors de la rupture, la tension $u_L$ est négative car $\frac{di}{dt} < 0$ (le courant diminue). La bobine s'oppose à la diminution en agissant comme un générateur.
1Valeur à $t=0^+$ : La loi des mailles donne $u_R + u_L = 0 \implies u_L = -u_R = -R \cdot i$. À $t=0$, le courant ne peut pas subir de discontinuité à cause de la bobine, donc $i(0) = I_0$. Ainsi $u_L(0) = -R \cdot I_0$. C'est une valeur négative brutale (-10V sur le graphe).
2Équation pour i(t) : $u_L + u_R = 0 \implies L \frac{di}{dt} + R \cdot i = 0 \implies \frac{L}{R} \frac{di}{dt} + i = 0 \implies$
$\tau \frac{di}{dt} + i = 0$
.
3Équation pour $u_L(t)$ : On dérive l'équation précédente par rapport au temps : $\tau \frac{d}{dt}(\frac{di}{dt}) + \frac{di}{dt} = 0$.
On multiplie par $L$ : $\tau \frac{d}{dt}(L\frac{di}{dt}) + L\frac{di}{dt} = 0$. Puisque $u_L = L\frac{di}{dt}$, on remplace et on obtient :
$\tau \frac{du_L}{dt} + u_L = 0$
.
4Vérification de la solution : Si $u_L = -R \cdot I_0 \cdot e^{-t/\tau}$, sa dérivée est $\frac{du_L}{dt} = -R \cdot I_0 (-\frac{1}{\tau}) e^{-t/\tau} = \frac{R \cdot I_0}{\tau} e^{-t/\tau}$.
Remplaçons : $\tau (\frac{R \cdot I_0}{\tau} e^{-t/\tau}) + (-R \cdot I_0 \cdot e^{-t/\tau}) = R \cdot I_0 e^{-t/\tau} - R \cdot I_0 e^{-t/\tau} = 0$. L'équation est vérifiée.
5Vérification à $t=0$ : $u_L(0) = -R \cdot I_0 = -50 \times 0,2 = \mathbf{-10 \text{ V}}$. Cela correspond parfaitement à la valeur la plus basse lue sur le graphique au début de la décharge.
6Détermination de $\tau$ : À $t=\tau$, la tension vaut 37% de sa valeur initiale extrême. $u_L(\tau) = 0,37 \times (-10) = -3,7 \text{ V}$. On repère -3,7 V sur l'axe des ordonnées, on projette sur la courbe, et on lit en abscisse : $\tau \approx \mathbf{2,0 \text{ ms}}$.
Pour les enseignants et pour préparer les travaux pratiques.
Influence d'une bobine dans un circuit
Identification
Partie
Physique
Unité
Le Dipôle RL
Titre
Influence d'une bobine dans un circuit électrique
Durée
25 minutes
Cadre pédagogique
Objectifs de l'expérience
Précautions et orientations
Conseils techniques
Observer le retard à l'établissement du courant.
Identifier le phénomène d'étincelle de rupture.
Déduire la propriété fondamentale de la bobine.
Rupture : Ne pas toucher les contacts à main nue (risque d'étincelle/surtension).
Utiliser deux lampes rigoureusement identiques.
La résistance $R$ de la branche 1 doit être égale à la résistance interne $r$ de la bobine.
Dispositif expérimental
Montage expérimental
Montage comparatif : Branche 1 (Résistance) vs Branche 2 (Bobine).
Matériel
Générateur de tension, interrupteur $K$, bobine $(L, r)$, conducteur ohmique $R$, deux lampes identiques $L_1$ et $L_2$.
Déroulement et exploitation
Étapes expérimentales
Questions de l'activité
Résultats attendus
Réponses & Conclusions
1. Fermer l'interrupteur $K$ et observer l'allumage des lampes.
1. Comment expliquer le retard à l'allumage observé pour la lampe $L_2$ ?
$L_1$ s'allume instantanément, $L_2$ s'allume avec un léger retard.
Le courant ne s'établit pas instantanément. La bobine s'oppose à l'apparition du courant.
2. Ouvrir brusquement l'interrupteur $K$ et observer le contact.
2. Quel est le rôle de la bobine dans le phénomène d'étincelle ?
Formation d'une étincelle fugitive au niveau de l'interrupteur.
Le courant essaie de continuer. La bobine s'oppose à la disparition du courant.
3. Synthétiser les observations.
3. Déduire la propriété fondamentale de la bobine.
Mise en évidence d'une "inertie" du courant électrique.
Une bobine s'oppose toujours aux variations de l'intensité du courant.
Bilan et évaluation
Bilan de l'expérience
La bobine est un composant qui introduit une inertie électrique dans le circuit. À cause du phénomène d'auto-induction, elle retarde l'établissement du courant lors de la fermeture et provoque une surtension (étincelle) en s'opposant à sa disparition lors de l'ouverture.
Questions d'évaluation
Q1. Quel effet aurait une bobine de plus grande inductance sur le retard à l'allumage ?
Q2. En régime permanent (bien après la fermeture), les lampes brillent-elles de la même façon ?
Q3. Pourquoi peut-on qualifier la bobine d'"amortisseur" électrique ?
Expression de la tension aux bornes d'une bobine
Identification
Partie
Physique
Unité
Le Dipôle RL
Titre
Étude du comportement de la bobine en régimes continu et variable
Durée
40 minutes
Cadre pédagogique
Objectifs de l'expérience
Précautions et orientations
Conseils techniques
Déterminer la résistance interne $r$ en courant continu.
Lier $u_L$ aux variations du courant en régime variable.
Établir l'expression générale $u_L = r \cdot i + L \frac{di}{dt}$.
En continu, ne pas dépasser l'intensité maximale tolérée par le fil de la bobine.
En alternatif, utiliser une tension triangulaire de fréquence appropriée pour bien voir les créneaux.
1. Alimenter la bobine en continu et relever $U_{ab}$ et $I$.
1. Tracer $U_{ab} = f(I)$ et déduire le comportement en continu.
Droite linéaire passant par l'origine.
En continu, la bobine agit comme un conducteur ohmique : $U_{ab} = r \cdot I$.
2. Passer en régime variable (GBF) et visualiser $u_R$ à l'oscillo.
2. Comment déduire l'intensité $i(t)$ à partir de la courbe $u_R(t)$ ?
Visualisation d'un signal triangulaire sur la voie Y1.
D'après la loi d'Ohm, $i(t) = \frac{u_R(t)}{R}$. La courbe est l'image exacte du courant.
3. Visualiser simultanément $u_L$ et $u_R$.
3. Quelle relation mathématique lie $u_L$ aux variations du courant $i$ ?
La tension $u_L$ (en créneaux) correspond à la dérivée de $i(t)$ (triangulaire).
La tension est proportionnelle à la dérivée : $u_L \propto \frac{di}{dt}$ (constante $L$).
4. Synthèse des deux régimes.
4. Déduire l'expression générale de $u_L$.
Superposition des effets ohmiques et inductifs.
Expression globale : $u_L = r \cdot i + L \frac{di}{dt}$.
Bilan et évaluation
Bilan de l'expérience
La tension aux bornes d'une bobine réelle comporte deux composantes : une composante ohmique ($r \cdot i$) visible en régime permanent, et une composante inductive ($L \frac{di}{dt}$) qui n'apparaît qu'en régime variable pour s'opposer aux changements du courant.
Questions d'évaluation
Q1. Que devient l'équation de la tension si la bobine est considérée comme idéale ?
Q2. Pourquoi utilise-t-on spécifiquement une tension triangulaire au GBF ?
Q3. Comment extraire la valeur de $L$ à partir des amplitudes des signaux à l'oscilloscope ?
L'établissement du courant dans un dipôle RL
Identification
Partie
Physique
Unité
Le Dipôle RL
Titre
Réponse à un échelon de tension montant
Durée
30 minutes
Cadre pédagogique
Objectifs de l'expérience
Précautions et orientations
Conseils techniques
Visualiser l'évolution exponentielle de $i(t)$.
Étudier l'influence des paramètres $R$ et $L$.
Déterminer expérimentalement la constante de temps $\tau$.
S'assurer du bon paramétrage de la base de temps du système d'acquisition.
Varier $L$ en insérant un noyau de fer doux dans la bobine.
Dispositif expérimental
Montage expérimental
Circuit de charge RL.Régimes du courant.Influence de R et L.
Matériel
Générateur de tension $E$, bobine modulable, résistor variable, système d'acquisition informatisé (ExAO).
Déroulement et exploitation
Étapes expérimentales
Questions de l'activité
Résultats attendus
Réponses & Conclusions
1. Fermer l'interrupteur et tracer la courbe $i(t)$.
1. Identifier les deux régimes et la phase d'action de la bobine.
Croissance asymptotique vers une valeur maximale.
Régime transitoire (retard visible dû à $L$) puis régime permanent.
2. Modifier $L$ puis $R$ et superposer les courbes.
2. Quel est l'effet d'une augmentation de $L$ ? Et de $R_{eq}$ ?
Modification de la courbure et de l'asymptote.
Augmenter $L$ ralentit l'établissement. Augmenter $R_{eq}$ accélère le processus.
3. Exploiter la courbe pour trouver $\tau$.
3. Comment déduire graphiquement $\tau$ ?
Lecture d'une abscisse.
Par la tangente à l'origine ou en relevant l'abscisse pour $i = 0,63 \cdot I_0$.
Bilan et évaluation
Bilan de l'expérience
Lors de l'application d'un échelon de tension, l'intensité du courant s'établit selon une loi exponentielle croissante : $i(t) = I_0(1 - e^{-t/\tau})$. La constante de temps $\tau = L/R_{eq}$ régit la durée de ce régime transitoire.
Questions d'évaluation
Q1. Que vaut l'intensité en régime permanent théorique ($t \to \infty$) ?
Q2. Par analyse dimensionnelle, prouver que le rapport $L/R$ est un temps.
Q3. Comment évolue la tension aux bornes de la bobine pendant l'établissement ?
L'annulation du courant
Identification
Partie
Physique
Unité
Le Dipôle RL
Titre
Réponse à la rupture du circuit (Échelon descendant)
Durée
25 minutes
Cadre pédagogique
Objectifs de l'expérience
Précautions et orientations
Conseils techniques
Observer la décroissance exponentielle du courant.
Comprendre le comportement en générateur temporaire de la bobine.
Isoler proprement le générateur pour éviter tout court-circuit dommageable.
Garder la même échelle de temps pour comparer visuellement avec l'établissement.
Dispositif expérimental
Montage expérimental
Circuit fermé sans générateur.Décroissance exponentielle de $i(t)$.
Matériel
Générateur (pour la charge initiale), système de bascule/court-circuit, bobine, résistor.
Déroulement et exploitation
Étapes expérimentales
Questions de l'activité
Résultats attendus
Réponses & Conclusions
1. Isoler le générateur une fois le régime permanent atteint.
1. Comment évolue l'intensité après isolation ?
Le courant ne s'annule pas immédiatement.
Il diminue progressivement et exponentiellement. La bobine maintient le courant.
2. Comparer les courbes pour différents couples (R, L).
2. Comment $R$ et $L$ influencent-ils la rapidité d'annulation ?
Temps de chute variable selon les composants.
L'inertie est maintenue par $L$ (ralentit la chute) et dissipée par $R$ (accélère la chute).
Bilan et évaluation
Bilan de l'expérience
Lors de la rupture de l'alimentation, la bobine restitue l'énergie magnétique qu'elle avait emmagasinée. Le courant décroît exponentiellement ($i(t) = I_0 \cdot e^{-t/\tau}$) au lieu de s'annuler brutalement.
Questions d'évaluation
Q1. Comment déterminer $\tau$ lors de l'annulation (méthode des 37%) ?
Q2. Que vaut la tension $u_L$ juste au moment de la rupture ($t=0^+$) ?
Q3. Sous quelle forme d'énergie est dissipé le courant résiduel dans la résistance ?
8. Documents à télécharger
Supports imprimables : activités, exercices et figures
