Pour 2BAC PC2BAC SVT2BAC SMMis à jour le 15 octobre 2026
Objectifs pédagogiques
Connaître la représentation symbolique du condensateur.
Connaître et utiliser les relations $q = C \cdot u_C$ et $i = \frac{dq}{dt}$.
Établir l'équation différentielle et Vérifier sa solution lors de la charge et la décharge d'un condensateur.
Connaître l'expression de la constante de temps $\tau = R \cdot C$ et savoir la déterminer graphiquement.
Savoir que l'énergie électrique emmagasinée dans le condensateur est $E_e = \frac{1}{2} C \cdot u_C^2$.
Compétences visées
Schématiser un circuit électrique et indiquer les branchements de l'oscilloscope.
Exploiter des documents expérimentaux pour déduire l'influence des paramètres $R$ et $C$.
Réaliser une analyse dimensionnelle pour vérifier l'homogénéité d'une formule.
Résoudre mathématiquement l'équation différentielle du premier ordre associée au dipôle RC.
Vérifiez vos prérequis
Que stipule la loi d'Ohm pour un conducteur ohmique ?
La tension $u_R$ aux bornes d'un conducteur ohmique de résistance $R$ est proportionnelle à l'intensité du courant $i$ qui le traverse : $u_R = R \cdot i$.
Qu'énonce la loi d'additivité des tensions (loi des mailles) ?
Dans une maille d'un circuit électrique, la somme algébrique des tensions aux bornes des différents dipôles est nulle. Autrement dit, la tension délivrée par le générateur est égale à la somme des tensions aux bornes des récepteurs en série.
Comment calcule-t-on la résistance équivalente de deux conducteurs ohmiques associés en série et en parallèle ?
- En série : $R_{eq} = R_1 + R_2$
- En parallèle : $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ (ou $R_{eq} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$).
Quelle est l'expression de la tension aux bornes d'un générateur idéal de tension ?
Pour un générateur idéal de tension, la tension à ses bornes est constante et égale à sa force électromotrice (f.é.m) $E$. Sa résistance interne $r$ est nulle ($u = E$).
Situation de départ
Dans un immeuble résidentiel, les habitants utilisent un bouton poussoir pour allumer la lumière de l'escalier. Le système est équipé d'une minuterie qui permet de maintenir les lampes allumées pendant une durée suffisante pour monter les étages, puis de les éteindre automatiquement pour économiser l'énergie. Suite à une panne, le syndic de l'immeuble remarque que la durée d'éclairage est devenue très courte. En examinant le boîtier électronique de commande, on identifie un circuit comportant un conducteur ohmique de résistance $R$ et un condensateur de capacité $C$.
Problème : Comment l'association de ces composants (R et C) permet-elle de contrôler la durée de fonctionnement de la minuterie ? Comment choisir les valeurs de R ou C pour rétablir une durée d'éclairage suffisante ?
Application directe du circuit RC : la temporisation et les minuteries.
1. Le condensateur : définition et propriétés
Expérience historique de la Bouteille de Leyde
Activité documentaire : La bouteille de Leyde
La bouteille de Leyde, inventée au 18ème siècle, est l'ancêtre du condensateur moderne. Elle est constituée d'une bouteille en verre (isolant) recouverte de feuilles de métal à l'intérieur et à l'extérieur (les armatures ou armatures). Lorsqu'on relie l'armature centrale à un générateur électrostatique, la bouteille accumule une grande quantité d'électricité capable de produire une forte étincelle lors de la décharge.
La bouteille de Leyde : le premier dispositif capable de stocker l'électricité.
Questions :
1 En considérant les deux feuilles de métal comme des plaques conductrices séparées par du verre, représenter le schéma électrique équivalent de ce dispositif relié à un générateur $G$ de tension continue.
2 Identifier le pôle positif et le pôle négatif sur les plaques après la charge.
3 Déterminer la relation entre la charge $q_A$ de la plaque positive et la charge $q_B$ de la plaque négative.
4 Déduire, à partir du fonctionnement de ce dispositif, comment l'électricité est stockée.
Voir les réponses
1 Le schéma équivalent correspond à deux armatures métalliques séparées par un isolant (diélectrique). C'est le symbole universel du condensateur.
Circuit électrique : Le condensateur relié à un générateur G.
2 L'armature reliée à la borne positive du générateur (qui attire les électrons) devient chargée positivement. L'armature reliée à la borne négative (qui repousse les électrons) se charge négativement.
3 À cause de la conservation globale de la charge du système, la quantité d'électrons qui quitte une armature s'accumule exactement sur l'autre. Par conséquent :
$q_A = -q_B$
. (On appelle $q = q_A > 0$ la charge globale du condensateur).
4Conclusion : L'électricité est stockée sous forme de séparation de charges électriques sur deux surfaces conductrices (les armatures), maintenues isolées par un milieu non conducteur (le diélectrique). Le condensateur accumule ainsi l'énergie électrostatique.
Définition et symbole
Un condensateur est un composant électronique constitué de deux surfaces conductrices appelées armatures, séparées par un matériau isolant appelé diélectrique (air, papier, céramique, ...).
Son symbole dans un circuit électrique est composé de deux traits parallèles de même longueur :
Symbole du condensateur. En convention récepteur, la flèche de tension $u_C$ est opposée au sens du courant $i$.
Relation entre la charge et la tension au bornes de condensateur
Activité expérimentale : Charge à l'aide d'un générateur de courant
On réalise le circuit suivant comprenant un condensateur déchargé, relié à un générateur de courant idéal. Ce type de générateur débite un courant d'intensité constante $I_0 = 100 \mu\text{A}$. On ferme l'interrupteur à l'instant $t=0$ et on relève la tension $u_C$ aux bornes du condensateur toutes les 10 secondes à l'aide d'un voltmètre.
Circuit expérimental : Charge à courant constant $I_0$.
Tableau des mesures :
$t \text{ (s)}$
0
10
20
30
40
50
$u_C \text{ (V)}$
0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
$q \ (\mu\text{C})$
...
...
...
...
...
...
Questions :
1 Sachant que l'intensité du courant est constante, donner l'expression de la charge $q$ accumulée sur l'armature positive en fonction de $I_0$ et $t$.
2 Compléter la dernière ligne du tableau.
3 Tracer (ou observer) l'allure de la courbe représentant les variations de $q$ en fonction de $u_C$ : $q = f(u_C)$.
4 En déduire la relation mathématique liant $q$ et $u_C$. Introduire une constante de proportionnalité $C$.
Voir les réponses
1 Par définition, l'intensité du courant continu est le débit de charge : $I_0 = \frac{q}{t}$.
Donc, la charge s'écrit :
$q = I_0 \cdot t$
.
2 Pour $t=10\text{s}$, $q = 100 \mu\text{A} \times 10\text{s} = 1000 \mu\text{C}$.
Le tableau complété donne successivement : 0 ; 1000 ; 2000 ; 3000 ; 4000 ; 5000 $\mu\text{C}$.
3 En plaçant les points $q$ en fonction de $u_C$, on obtient une droite linéaire passant par l'origine.
La courbe $q = f(u_C)$ est une droite linéaire.
4Conclusion : Puisque le graphe est une droite passant par l'origine, la charge $q$ est proportionnelle à la tension $u_C$. Le coefficient directeur (la pente de this droite) est une constante notée $C$. On aboutit à la relation fondamentale :
$q = C \cdot u_C$
.
La Capacité d'un condensateur :
La constante de proportionnalité $C$ est appelée la capacité du condensateur. Elle est propre à chaque condensateur et dépend de sa géométrie (surface des armatures, distance les séparant) et de la nature du diélectrique.
$$q = C \cdot u_C$$
$q$ : Charge de l'armature positive en Coulomb (C).
$u_C$ : Tension aux bornes du condensateur en Volt (V).
$C$ : Capacité du condensateur en Farad (F).
Remarque sur le courant électrique : En régime variable (où les grandeurs changent au cours du temps), l'intensité du courant est la dérivée de la charge par rapport au temps :
Dans un montage en série, les condensateurs portent la même charge $q = q_1 = q_2$. La loi d'additivité des tensions s'écrit : $u = u_1 + u_2$.
Puisque $u = \frac{q}{C_{eq}}$, $u_1 = \frac{q}{C_1}$ et $u_2 = \frac{q}{C_2}$, on remplace :
$\frac{q}{C_{eq}} = \frac{q}{C_1} + \frac{q}{C_2}$. En simplifiant par $q$, on obtient :
Avantage : Cette association permet de créer un condensateur équivalent de capacité plus faible, capable de supporter des tensions d'utilisation plus élevées.
b. Association en parallèle
Condensateurs branchés en parallèle (dérivation).
Dans un montage en parallèle, les condensateurs sont soumis à la même tension $u = u_1 = u_2$. La charge totale est la somme des charges : $q = q_1 + q_2$.
Puisque $q = C_{eq} \cdot u$, $q_1 = C_1 \cdot u$ et $q_2 = C_2 \cdot u$, on remplace :
$C_{eq} \cdot u = C_1 \cdot u + C_2 \cdot u$. En simplifiant par $u$, on obtient :
$$C_{eq} = C_1 + C_2$$
Avantage : Cette association permet d'obtenir un condensateur équivalent de capacité plus grande, capable d'emmagasiner davantage de charges.
Testez-vous
2. Réponse du dipôle RC à un échelon de tension
L'association en série d'un conducteur ohmique (R) et d'un condensateur (C) forme un Dipôle RC.
Le dipôle RC.
On le soumet à un échelon de tension $E$. C'est-à-dire qu'on lui applique brusquement une tension constante $E$ (charge) qu'on fait ensuite passer brusquement à $0$ (décharge).
Échelon de tension : passage instantané de 0 à E, puis de E à 0.
Étude expérimentale de la charge du condensateur
Expérience de charge d'un condensateur et tracé de la courbe
Ouvrir la simulation : Étude expérimentale de la charge du condensateur
Activité expérimentale : La charge du condensateur
On réalise le montage électrique constitué d'un générateur idéal de tension continue (E), un interrupteur $K$, un résistor $R$ et un condensateur $C$ totalement déchargé.
Montage de charge avec branchement de l'oscilloscope pour visualiser $u_C$. (Masse reliée au pôle négatif du générateur, et Voie $Y_1$ entre R et C).
Questions :
1 À l'instant $t=0$, on ferme l'interrupteur. L'oscilloscope affiche l'évolution de la tension $u_C$ aux bornes du condensateur. Décrire les deux régimes d'évolution observés sur la courbe.
2 Pour comprendre comment fonctionne la minuterie de l'immeuble, on refait l'expérience en modifiant successivement la résistance $R$ puis la capacité $C$. En observant les graphiques résultants, déduire les facteurs qui influencent la durée de la charge.
Voir les réponses
1 Sur la courbe de charge, on observe clairement deux régimes distincts :
- Un régime transitoire : la tension $u_C(t)$ augmente progressivement de façon exponentielle au cours du temps.
- Un régime permanent : la tension $u_C(t)$ se stabilise et devient constante. Elle atteint sa valeur maximale, égale à la tension du générateur : $u_{C,max} = E$.
2Facteurs influençant la charge :
- Lorsqu'on augmente la valeur de la résistance $R$, la durée nécessaire pour charger le condensateur augmente (la courbe s'aplatit).
- Lorsqu'on augmente la capacité $C$, la durée de charge augmente également. Conclusion : La durée de charge est proportionnelle aux valeurs de la résistance $R$ et de la capacité $C$. Pour réparer la minuterie (allonger la durée d'allumage), le technicien devra remplacer le composant défectueux par un autre ayant une plus grande valeur (un plus grand $R$ ou un plus grand $C$).
Influence de R et C : Plus le produit R.C est grand, plus la charge est lente.
Étude théorique de la charge
a. Équation différentielle vérifiée par $u_C$ :
En appliquant la loi d'additivité des tensions (loi des mailles) au circuit en série :
$E = u_R + u_C$
D'après la loi d'Ohm : $u_R = R \cdot i$. Donc $E = R \cdot i + u_C$.
Or, nous savons que le courant en régime variable est $i = C \frac{du_C}{dt}$. En remplaçant $i$ par cette expression, on obtient l'équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants :
$$R \cdot C \frac{du_C}{dt} + u_C = E$$
Attention.
Rappelez-vous en mathématiques : la dérivée d'une constante (comme $B$) est nulle. La dérivée de $A \cdot e^{-\alpha t}$ est $-A \cdot \alpha \cdot e^{-\alpha t}$.
b. Solution de l'équation différentielle (Démonstration) :
La solution mathématique générale de cette équation s'écrit sous la forme : $u_C(t) = A \cdot e^{-\alpha \cdot t} + B$ où $A$, $B$ et $\alpha$ sont des constantes positives à déterminer.
Étape 1 : Dérivation de la solution.
$\frac{du_C}{dt} = -A \cdot \alpha \cdot e^{-\alpha \cdot t}$.
Étape 2 : Remplacement dans l'équation différentielle.
$R \cdot C \cdot (-A \cdot \alpha \cdot e^{-\alpha \cdot t}) + (A \cdot e^{-\alpha \cdot t} + B) = E$
Factorisons par $A \cdot e^{-\alpha \cdot t}$ :
$A \cdot e^{-\alpha \cdot t} \cdot (1 - R \cdot C \cdot \alpha) + B - E = 0$
Étape 3 : Déduction des constantes.
Pour que cette équation soit vraie à n'importe quel instant $t$, il faut que chaque terme soit nul :
$1 - R \cdot C \cdot \alpha = 0 \implies \alpha = \frac{1}{R \cdot C}$
$B - E = 0 \implies B = E$
Étape 4 : Conditions initiales.
À $t=0$, le condensateur est initialement déchargé, donc $u_C(0) = 0$.
Remplaçons $t$ par 0 dans la solution : $A \cdot e^0 + B = 0 \implies A \cdot 1 + E = 0 \implies A = -E$.
En remplaçant les constantes trouvées, l'expression temporelle de la tension aux bornes du condensateur pendant la charge est :
$$u_C(t) = E \cdot (1 - e^{-\frac{t}{R \cdot C}})$$
c. Expressions de l'intensité $i(t)$ et de la charge $q(t)$ :
La charge : $q(t) = C \cdot u_C(t) = \mathbf{C \cdot E \cdot (1 - e^{-\frac{t}{R \cdot C}})}$.
Le courant : $i(t) = C \frac{du_C}{dt} = C \frac{d}{dt}\left[E(1 - e^{-t/RC})\right] = C \left[0 - E(-\frac{1}{RC})e^{-t/RC}\right]$.
Après simplification des $C$, on obtient : $i(t) = \mathbf{\frac{E}{R} \cdot e^{-\frac{t}{R \cdot C}}}$.
À $t=0$, le courant est maximal $I_{max} = \frac{E}{R}$. En fin de charge ($t \to \infty$), $i(t)$ tend vers $0$ (le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert).
Évolution de $u_C(t)$, $q(t)$ (croissantes) et $i(t)$ (décroissante) lors de la charge.
La constante de temps
Le produit $R \cdot C$ homogène à un temps, est appelé constante de temps du dipôle RC, et se note $\tau$ (tau).
$$\tau = R \cdot C$$
Analyse dimensionnelle :
Montrons que $\tau$ a la dimension d'un temps.
$[\tau] = [R] \cdot [C]$.
D'après la loi d'Ohm ($u = R \cdot i$), on a $[R] = \frac{[U]}{[I]}$.
D'après la relation du condensateur ($i = C \cdot \frac{du}{dt}$), on a $[C] = \frac{[I] \cdot [T]}{[U]}$.
En multipliant les deux : $[\tau] = \frac{[U]}{[I]} \cdot \frac{[I] \cdot [T]}{[U]} = [T]$.
L'unité de $\tau$ dans le système international est bien la seconde (s).
Détermination graphique de $\tau$ (2 méthodes) :
Méthode mathématique (63%) : Pour $t = \tau$, la tension devient $u_C(\tau) = E(1 - e^{-1}) \approx 0,63 \cdot E$. On calcule cette valeur de $63\%$, on la repère sur l'axe des ordonnées, on projette sur la courbe puis sur l'axe des temps pour lire $\tau$.
Méthode de la tangente : L'abscisse du point d'intersection entre la tangente à la courbe à l'instant $t=0$ et l'asymptote horizontale ($u_C = E$) correspond exactement à la valeur de $\tau$.
Note : On considère que le condensateur est totalement chargé au bout d'une durée $t \approx 5 \cdot \tau$ (le régime permanent est atteint, $u_C \approx 0,99 \cdot E$).
Les deux méthodes graphiques pour déterminer $\tau$ lors de la charge.
Étude expérimentale de la décharge du condensateur
Expérience de décharge d'un condensateur dans une résistance
Ouvrir la simulation : Étude expérimentale de la décharge du condensateur
Activité expérimentale : La décharge du condensateur
On considère le condensateur précédent, désormais complètement chargé sous la tension $E$. On bascule l'interrupteur pour l'isoler du générateur et le relier uniquement à un conducteur ohmique $R'$.
Montage de décharge : Le condensateur restitue son énergie stockée au résistor.
Questions :
1 L'oscilloscope affiche l'évolution de la tension. Décrire comment la tension $u_C$ évolue au cours de la décharge.
2 Quels sont les facteurs qui permettent d'accélérer ou de ralentir le processus de décharge dans le circuit ?
Voir les réponses
1 La tension $u_C$ part de sa valeur initiale maximale $E$, puis elle diminue progressivement et de façon exponentielle jusqu'à s'annuler totalement en régime permanent ($u_C = 0 \text{ V}$).
2 Tout comme pour la charge, la durée de la décharge dépend fortement des valeurs de la résistance $R'$ du circuit et de la capacité $C$ du condensateur. Si l'on souhaite une décharge très rapide (comme pour le flash d'un appareil photo), il faut choisir une très faible résistance dans le circuit de décharge.
Influence des paramètres : Un produit R.C élevé ralentit fortement la décharge vers 0V.
Étude théorique de la décharge
a. Équation différentielle :
Le circuit ne comporte plus de générateur ($E=0$). La loi d'additivité des tensions donne :
$u_R + u_C = 0$
En remplaçant $u_R$ par $R \cdot i$ et $i$ par $C \frac{du_C}{dt}$, on obtient l'équation de la décharge :
$$R \cdot C \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$$
b. Solution de l'équation :
La solution est de la forme $u_C(t) = A \cdot e^{-\alpha \cdot t}$. Par la même méthode de dérivation et remplacement, on trouve $\alpha = \frac{1}{R \cdot C}$.
À $t=0$ (début de décharge), le condensateur est chargé à la tension $E$, donc $u_C(0) = E \implies A = E$.
La solution finale est donc purement exponentielle décroissante :
$$u_C(t) = E \cdot e^{-\frac{t}{R \cdot C}}$$
c. Expressions de $i(t)$ et $q(t)$ :
$q(t) = C \cdot u_C(t) = \mathbf{C \cdot E \cdot e^{-\frac{t}{R \cdot C}}}$.
$i(t) = C \frac{du_C}{dt} = \mathbf{-\frac{E}{R} \cdot e^{-\frac{t}{R \cdot C}}}$.
Le signe négatif indique que lors de la décharge, le courant circule dans le sens inverse par rapport au sens positif choisi arbitrairement pour l'étude.
Évolution de $u_C(t)$, $q(t)$ (positives décroissantes) et $i(t)$ (négative) lors de la décharge.
Détermination graphique de $\tau$ pour la décharge
La constante de temps $\tau = R \cdot C$ régit également la vitesse de décharge.
Méthode mathématique (37%) : Pour $t = \tau$, la tension devient $u_C(\tau) = E \cdot e^{-1} \approx 0,37 \cdot E$. Le condensateur a perdu 63% de sa charge et il ne lui en reste que 37%.
Méthode de la tangente : L'intersection de la tangente à l'origine ($t=0$) avec l'axe des temps (abscisses où $u_C = 0$) donne directement la valeur de $\tau$.
La décharge est considérée comme totale à l'instant $t \approx 5 \tau$.
Méthodes graphiques pour $\tau$ (tangente coupant l'axe des abscisses, et lecture à 0.37E).
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3. Énergie emmagasinée dans le condensateur
Expérience illustrant la restitution de l'énergie du condensateur
Mise en évidence de l'énergie stockée
Un condensateur chargé possède la capacité de faire fonctionner brièvement un appareil électrique s'il y est relié (par exemple, allumer une lampe flash ou faire tourner un petit moteur électrique). Cela prouve irréfutablement que lors de sa phase de charge, le condensateur a emmagasiné de l'énergie électrique.
Le moteur tourne brièvement lors de la décharge : preuve que le condensateur libère l'énergie stockée.
Expression de l'énergie électrique emmagasinée dans le condensateur
Démonstration mathématique :
La puissance électrique transférée au condensateur s'écrit : $P = u_C \cdot i$.
Or, nous savons que $i = C \cdot \frac{du_C}{dt}$.
En remplaçant : $P = u_C \cdot C \cdot \frac{du_C}{dt} = C \cdot u_C \cdot \frac{du_C}{dt}$.
En mathématiques, la fonction $f \cdot f'$ est la dérivée de $\frac{1}{2} f^2$. Ainsi, $u_C \cdot \frac{du_C}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} u_C^2\right)$.
La puissance devient donc : $P = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} C \cdot u_C^2\right)$.
De plus, la physique définit la puissance comme la variation (dérivée) temporelle de l'énergie électrique emmagasinée : $P = \frac{d E_e}{dt}$.
Par identification (en intégrant et considérant l'énergie nulle lorsque $u_C=0$), on déduit l'expression de l'énergie électrique $E_e$ :
$$E_e = \frac{1}{2} \cdot C \cdot u_C^2$$
D'autres formules équivalentes peuvent être déduites en utilisant la relation $q = C \cdot u_C$ :
$E_e$ : Énergie électrique stockée, en Joules (J).
$C$ : Capacité du condensateur, en Farads (F).
$u_C$ : Tension aux bornes du condensateur, en Volts (V).
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L'essentiel
Le condensateur : Un composant capable de stocker des charges électriques séparées par un diélectrique. Relation de base : $q = C \cdot u_C$ et $i = C \frac{du_C}{dt}$.
Constante de temps : $\tau = R \cdot C$. Elle renseigne sur la rapidité du processus. Plus $\tau$ est grand, plus la charge/décharge est lente (totalement terminée vers $t = 5\tau$).
Énergie : Le condensateur emmagasine l'énergie électrique $E_e = \frac{1}{2} C \cdot u_C^2$. Cette énergie est ensuite restituée lors de la décharge (et souvent dissipée sous forme de chaleur par effet Joule dans la résistance).
4. Enrichissement et applications
Le dipôle RC est omniprésent dans les technologies modernes grâce à sa capacité unique de "retarder" un signal ou de fournir de l'énergie quasi-instantanément. Voici quelques domaines concrets :
La photographie (Flash) : Le flash d'un appareil photo nécessite une énorme quantité de lumière (et donc d'énergie) pendant une fraction de seconde, ce que la pile de l'appareil ne peut pas fournir directement. Un condensateur est chargé lentement, puis déchargé instantanément dans l'ampoule du flash grâce à un circuit à très faible résistance.
Le rythme cardiaque (Défibrillateur et Pacemaker) : Les chocs électriques utilisés pour relancer un cœur arrêté sont délivrés par d'imposants condensateurs préalablement chargés. De même, les pacemakers utilisent des circuits RC pour "dicter" la cadence des impulsions électriques, la constante de temps $\tau$ servant de métronome naturel.
Les écrans tactiles : L'écran de votre smartphone est souvent de type "capacitif". Il s'agit d'un quadrillage de minuscules condensateurs. Lorsque votre doigt (qui est conducteur) s'approche de l'écran, il modifie localement la capacité $C$ du condensateur situé sous l'écran, ce que le processeur détecte immédiatement.
Les minuteries (Temporisation) : Comme vu en situation de départ, on utilise le temps de charge ou de décharge (régit par $R$ et $C$) pour allumer ou éteindre des systèmes automatiques (lumière d'escalier, essuie-glaces intermittents de voiture).
Applications : Le stockage rapide d'énergie et la temporisation (mesure du temps).
Recherche d'approfondissement
Pour aller plus loin et développer votre culture scientifique et technique, vous pouvez rechercher les sujets suivants :
Les Supercondensateurs : Pourquoi ces nouveaux composants pourraient-ils un jour remplacer partiellement les batteries au lithium dans les bus ou les tramways électriques ?
Filtrage des signaux : Comment les ingénieurs du son utilisent-ils les circuits RC (filtres passe-bas et passe-haut) pour isoler les graves ou les aigus dans un haut-parleur ?
L'effet de pointe et le pouvoir des diélectriques : Pourquoi certains matériaux isolants permettent-ils d'obtenir des capacités gigantesques dans des tailles microscopiques ?
5. Exercices corrigés
Exercice 1 : Étude de la charge d'un condensateur
Pour déterminer la capacité $C$ d'un condensateur, on réalise un circuit série constitué de : un générateur de tension idéale de f.é.m $E = 12 \text{ V}$, un résistor de résistance $R = 1,0 \text{ k}\Omega$, un condensateur totalement déchargé et un interrupteur $K$. On ferme l'interrupteur à l'instant $t=0$. Le suivi de la tension a permis d'obtenir la courbe de $u_C = f(t)$.
Figure 1 : Schéma et courbe expérimentale de l'Exercice 1.
Questions :
1 Reproduire le schéma du montage en y indiquant la flèche de tension $u_C$ en convention récepteur, ainsi que le branchement de l'oscilloscope pour la visualiser.
2 Établir l'équation différentielle régissant l'évolution de la tension $u_C(t)$ au cours de la charge.
3 La solution de cette équation différentielle s'écrit sous la forme $u_C(t) = A(1 - e^{-t/\tau})$. En remplaçant dans l'équation, déterminer les expressions des constantes $A$ et $\tau$.
4 Par analyse dimensionnelle, prouver que la constante $\tau$ est homogène à un temps.
5 Déterminer graphiquement (sur le document fourni) la valeur de la constante de temps $\tau$. En déduire la valeur de la capacité $C$ du condensateur.
6 Calculer l'énergie électrique maximale emmagasinée par le condensateur en régime permanent.
Voir la solution 1
Attention.
Faites attention aux unités : la résistance $R$ est donnée en kilo-ohms ($k\Omega$). Il faut impérativement la convertir en Ohms ($\Omega$) avant de calculer la capacité $C$. $1 \text{ k}\Omega = 10^3 \Omega$.
1Schéma : Le sens du courant est imposé par le générateur (sortant de la borne +). En convention récepteur, la flèche $u_C$ est opposée au courant $i$. Pour l'oscilloscope : La voie d'entrée ($Y_1$) se place entre R et C, du côté de la flèche de $u_C$, et la masse se place de l'autre côté du condensateur (côté borne - du générateur).
2Équation différentielle : Loi des mailles : $E = u_R + u_C$. Or $u_R = R \cdot i$ et $i = C \frac{du_C}{dt}$.
L'équation est :
$R \cdot C \frac{du_C}{dt} + u_C = E$
.
3Détermination des constantes :
On a $u_C = A - A e^{-t/\tau}$. La dérivée est $\frac{du_C}{dt} = \frac{A}{\tau} e^{-t/\tau}$.
On remplace dans l'équation : $RC (\frac{A}{\tau} e^{-t/\tau}) + A - A e^{-t/\tau} = E$.
On factorise : $A e^{-t/\tau} (\frac{RC}{\tau} - 1) + A - E = 0$.
Pour que cela soit vrai pour tout $t$, il faut que $\frac{RC}{\tau} - 1 = 0 \implies \tau = RC$ et $A - E = 0 \implies A = E$.
4Analyse dimensionnelle :
$[\tau] = [R] \cdot [C] = \frac{[U]}{[I]} \cdot \frac{[I][T]}{[U]} = [T]$. Donc $\tau$ s'exprime en secondes (s).
5Détermination graphique et calcul :
D'après la courbe, l'abscisse de l'intersection de la tangente à l'origine avec l'asymptote horizontale ($E = 12\text{V}$) est $1\text{ms}$. Donc $\tau = 1 \cdot 10^{-3} \text{ s}$.
$C = \frac{\tau}{R} = \frac{1 \cdot 10^{-3}}{1 \cdot 10^3} = \mathbf{1 \cdot 10^{-6} \text{ F}}$ (ou $1 \mu\text{F}$).
Exercice 2 : Étude de la décharge d'un condensateur
Les chaînes électroniques HiFi contiennent souvent des filtres RC. Cet exercice vise à modéliser le comportement de ce circuit lors d'une coupure de signal. On réalise un montage permettant de décharger un condensateur préalablement chargé sous une tension $E = 10 \text{ V}$, dans un conducteur ohmique de résistance $R = 2 \text{ k}\Omega$. À $t=0$, on déclenche la décharge.
Figure 2 : Évolution logarithmique $\ln(u_C) = f(t)$ lors de la décharge.
Questions :
1 Reproduire le schéma du circuit de décharge en fléchant le courant et les tensions.
2 En appliquant la loi d'additivité des tensions, montrer que l'équation différentielle s'écrit $u_C + \tau \frac{du_C}{dt} = 0$, en précisant l'expression de $\tau$.
3 La solution de l'équation est $u_C(t) = E \cdot e^{-t/\tau}$. Montrer que l'expression de la fonction logarithme de la tension s'écrit : $\ln(u_C) = -\frac{1}{\tau} \cdot t + \ln(E)$.
4 En exploitant la courbe représentant $\ln(u_C) = f(t)$ (qui est une droite de pente négative), déterminer la valeur de $\tau$.
5 Déduire la valeur de la capacité $C$.
6 Calculer l'énergie thermique dissipée par effet Joule dans le résistor à la fin totale de la décharge.
Voir la solution 2
Attention.
La fonction logarithme népérien ($\ln$) a pour propriétés : $\ln(a \cdot b) = \ln(a) + \ln(b)$ et $\ln(e^x) = x$. Cette linéarisation est très utilisée pour trouver des constantes à partir de graphiques expérimentaux.
1Schéma : Une simple boucle fermée contenant le condensateur et le résistor. Les tensions $u_C$ et $u_R$ s'opposent.
2Équation différentielle : Loi des mailles : $u_R + u_C = 0$.
$R \cdot i + u_C = 0 \implies R \cdot C \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$.
On pose $\tau = RC$, donc
$\tau \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$
.
3Démonstration logarithmique :
On a $u_C = E \cdot e^{-t/\tau}$. Appliquons le log :
$\ln(u_C) = \ln(E \cdot e^{-t/\tau}) = \ln(E) + \ln(e^{-t/\tau})$.
Ce qui donne la relation affine :
$\ln(u_C) = -\frac{1}{\tau} \cdot t + \ln(E)$
.
4Détermination de $\tau$ :
La courbe $\ln(u_C) = f(t)$ est une droite affine d'équation $y = a \cdot t + b$. Son coefficient directeur $a$ correspond à $-\frac{1}{\tau}$.
Soient deux points sur la droite. Calculons la pente $a = \frac{\Delta y}{\Delta t}$. Si la pente vaut (par exemple) $a = -100 \text{ s}^{-1}$.
Alors $-\frac{1}{\tau} = -100 \implies \tau = \frac{1}{100} = \mathbf{10 \text{ ms}}$. (Valeur dépendante du graphe fourni).
6Énergie dissipée :
D'après le principe de conservation de l'énergie, toute l'énergie initialement stockée dans le condensateur est dissipée sous forme de chaleur dans le résistor (Effet Joule).
$E_{Joule} = E_{initiale} = \frac{1}{2} C E^2 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10^{-6} \cdot (10)^2 = \mathbf{2,5 \cdot 10^{-4} \text{ J}}$.
Exercice 3 : Étude complète charge et décharge (Problème de synthèse)
On réalise le montage schématisé ci-dessous comportant : un générateur idéal de tension continue de f.é.m $E = 6 \text{ V}$, deux conducteurs ohmiques de résistances $R_1 = 100 \text{ }\Omega$ et $R_2$ inconnue, un condensateur de capacité $C$ et un commutateur $K$ à double position.
Figure 3 : Montage complet avec commutateur (Position 1 pour la charge, Position 2 pour la décharge).
Questions :
Partie A : Le commutateur est basculé à la position 1 à $t=0$.
1 Quel phénomène se produit-il dans cette position 1 ?
2 Établir l'équation différentielle vérifiée par la charge $q(t)$ du condensateur.
3 La solution de cette équation est de la forme $q(t) = Q_{max} (1 - e^{-t/\tau_1})$. Exprimer $Q_{max}$ et $\tau_1$ en fonction des paramètres du circuit.
4 La courbe expérimentale a permis de trouver une constante de temps $\tau_1 = 2 \text{ ms}$. Calculer la capacité $C$ du condensateur.
5 Déterminer la valeur de l'intensité du courant $I_0$ à l'instant $t=0$ juste à la fermeture du circuit.
Partie B : Une fois le régime permanent atteint, on bascule le commutateur en position 2. On prend un nouveau repère de temps $t=0$.
6 Quel est le nouveau rôle du condensateur dans le circuit ?
7 Établir la nouvelle équation différentielle vérifiée par la tension $u_C(t)$ impliquant la nouvelle résistance totale.
8 En admettant que la nouvelle constante de temps de ce processus est $\tau_2 = 10 \text{ ms}$, déduire la valeur de la résistance inconnue $R_2$.
9 Calculer la valeur de la tension $u_C$ à l'instant spécifique $t = \tau_2$.
10 Calculer le pourcentage de l'énergie électrique restante dans le condensateur à cet instant $t = \tau_2$ par rapport à son énergie initiale totale.
Voir la solution 3
Attention.
Dans les montages à commutateur, soyez attentif à la maille fermée. En position 2, le générateur est déconnecté, et il y a souvent deux résistances en série dans la boucle de décharge. Lisez bien le schéma !
Partie A : Position 1
1Phénomène : C'est la charge du condensateur à travers le résistor $R_1$ par le générateur E.
2Éq. diff. pour $q(t)$ : Loi des mailles : $R_1 \cdot i + u_C = E$.
On sait que $i = \frac{dq}{dt}$ et $u_C = \frac{q}{C}$.
En remplaçant :
$R_1 \frac{dq}{dt} + \frac{1}{C} q = E$
.
3Paramètres : L'équation différentielle classique de $u_C$ était $RC\frac{du_c}{dt}+u_C=E$. Pour $q$, en multipliant par C, la constante de temps reste la même. $\tau_1 = R_1 \cdot C$. En régime permanent, la dérivée s'annule, donc $\frac{1}{C} Q_{max} = E \implies Q_{max} = C \cdot E$.
5Intensité $I_0$ : À $t=0$, le condensateur est déchargé ($u_C=0$). La loi d'Ohm donne $E = R_1 \cdot I_0 \implies I_0 = \frac{E}{R_1} = \frac{6}{100} = \mathbf{0,06 \text{ A}}$.
Partie B : Position 2
6Nouveau rôle : Le condensateur, préalablement chargé, se comporte comme un générateur temporaire qui restitue son énergie. C'est le phénomène de décharge.
7Nouvelle Éq. diff. : Dans la boucle de droite, le courant traverse $R_1$ ET $R_2$ qui sont montés en série. La résistance équivalente est $R_{eq} = R_1 + R_2$.
Loi des mailles : $u_{Req} + u_C = 0 \implies (R_1 + R_2) \cdot i + u_C = 0 \implies$
9Tension à $t = \tau_2$ : La solution est $u_C(t) = E \cdot e^{-t/\tau_2}$.
Pour $t = \tau_2$, $u_C(\tau_2) = 6 \times e^{-1} \approx 6 \times 0,37 = \mathbf{2,22 \text{ V}}$.
10Pourcentage d'énergie :
Énergie initiale : $E_{initiale} = \frac{1}{2} C \cdot E^2$.
Énergie à l'instant $\tau_2$ : $E(\tau_2) = \frac{1}{2} C \cdot (u_C(\tau_2))^2 = \frac{1}{2} C \cdot (E \cdot e^{-1})^2 = \frac{1}{2} C \cdot E^2 \cdot e^{-2}$.
Le rapport est $\frac{E(\tau_2)}{E_{initiale}} = e^{-2} \approx 0,135$, soit 13,5%. Conclusion : À l'instant $\tau$, bien que la tension chute de 63%, l'énergie, qui évolue avec le carré de la tension, a chuté d'environ 86,5% !
6. QCM : 30 questions
7. Fiches d'expériences
Pour les enseignants et pour préparer les travaux pratiques.
Charge à courant constant
Identification
Partie
Physique
Unité
Le Dipôle RC
Titre
Charge d'un condensateur à l'aide d'un générateur de courant
Durée
30 minutes
Cadre pédagogique
Objectifs de l'expérience
Précautions et orientations
Conseils techniques
Déterminer la charge $q$ accumulée.
Établir la relation $q = C \cdot u_C$.
Calculer graphiquement la capacité $C$.
Respecter la polarité du condensateur.
Ne pas dépasser la tension nominale maximale.
Relever $u_C$ à intervalles réguliers précis.
Vérifier que $I_0$ reste rigoureusement constant.
Dispositif expérimental
Montage expérimental
Circuit avec générateur $I_0$ constant.Graphe $q = f(u_C)$ obtenu.
3. Quelle est l'allure de la courbe représentant les variations de $q$ ?
Alignement des points.
On obtient une droite linéaire passant par l'origine.
4. Modéliser la courbe obtenue.
4. En déduire la relation mathématique liant $q$ et $u_C$.
Proportionnalité directe.
$q$ est proportionnelle à $u_C$. La pente est la capacité : $q = C \cdot u_C$.
Bilan et évaluation
Bilan de l'expérience
Lorsqu'un condensateur est chargé à courant constant, sa charge $q$ augmente linéairement avec le temps. La courbe $q = f(u_C)$ est une droite linéaire dont le coefficient directeur représente la capacité $C$ du condensateur, grandeur caractéristique exprimée en Farads (F).
Questions d'évaluation
Q1. Quelle est l'unité internationale de la capacité $C$ ?
Q2. Comment s'écrit la relation entre le courant $i(t)$ et la charge $q(t)$ en régime variable ?
Q3. Pourquoi $u_C$ augmente-t-elle si la charge $q$ s'accumule sur l'armature ?
La charge du condensateur
Identification
Partie
Physique
Unité
Le Dipôle RC
Titre
Réponse d'un dipôle RC à un échelon de tension (Charge)
Durée
35 minutes
Cadre pédagogique
Objectifs de l'expérience
Précautions et orientations
Conseils techniques
Visualiser la tension $u_C(t)$ à l'oscilloscope.
Identifier le régime transitoire et permanent.
Étudier l'influence des paramètres $R$ et $C$.
Bien identifier la masse du circuit pour éviter les courts-circuits avec l'oscilloscope.
Utiliser une résistance suffisamment grande pour ralentir la charge et la rendre observable.
Dispositif expérimental
Montage expérimental
Oscilloscope aux bornes de C.Influence de R et C.Détermination de $\tau$.
1. Fermer $K$ et observer la courbe $u_C(t)$ à l'écran.
1. Décrire les deux régimes d'évolution observés sur la courbe.
Augmentation non linéaire puis stabilisation.
Régime transitoire (croissance exponentielle) puis régime permanent ($u_C = E$).
2. Refaire l'expérience en augmentant la résistance $R$.
2. Quelle est l'influence de la valeur de $R$ sur la durée de charge ?
La courbe met plus de temps à atteindre $E$.
La durée de charge augmente proportionnellement à la résistance.
3. Refaire l'expérience en augmentant la capacité $C$.
3. Quelle est l'influence de la valeur de $C$ sur le système ?
Aplatissement temporel similaire.
Plus la capacité $C$ est grande, plus la charge est lente.
Bilan et évaluation
Bilan de l'expérience
Le condensateur s'oppose aux variations brusques de tension. Sa charge sous un échelon $E$ suit une loi exponentielle croissante. La rapidité de cette évolution est caractérisée par la constante de temps $\tau = R \cdot C$ : plus $\tau$ est grand, plus le régime transitoire dure longtemps.
Questions d'évaluation
Q1. Comment déterminer graphiquement $\tau$ par la méthode de la tangente ?
Q2. Quelle est la valeur de la tension $u_C$ à l'instant $t = \tau$ ?
Q3. En régime permanent, que vaut l'intensité $i$ du courant ?
La décharge du condensateur
Identification
Partie
Physique
Unité
Le Dipôle RC
Titre
La décharge du condensateur dans un conducteur ohmique
Durée
30 minutes
Cadre pédagogique
Objectifs de l'expérience
Précautions et orientations
Conseils techniques
Observer la restitution de l'énergie stockée.
Analyser la décroissance exponentielle de $u_C$.
Déterminer expérimentalement $\tau$ lors de la décharge.
Le condensateur doit être pleinement chargé à la tension $E$ avant basculement.
Le générateur doit être physiquement exclu de la maille de décharge.
Dispositif expérimental
Montage expérimental
Circuit fermé sans générateur.Influence des paramètres.Graphiques pour $\tau$ (décharge).
Matériel
Condensateur préalablement chargé à $E$, résistor de décharge $R'$, interrupteur, oscilloscope.
Déroulement et exploitation
Étapes expérimentales
Questions de l'activité
Résultats attendus
Réponses & Conclusions
1. Isoler le condensateur chargé et le relier uniquement à $R'$.
1. Décrire comment la tension $u_C$ évolue au cours de la décharge.
Baisse instantanée puis asympotique vers 0.
Elle décroît exponentiellement de sa valeur max $E$ jusqu'à s'annuler ($0\text{V}$).
2. Répéter l'opération en remplaçant $R'$ par une résistance plus petite.
2. Quels sont les facteurs qui permettent d'accélérer le processus de décharge ?
Chute beaucoup plus abrupte.
Il faut diminuer la résistance $R'$ ou la capacité $C$ pour réduire $\tau$ et accélérer la décharge.
3. Mesurer $\tau$ via l'ordonnée $0,37 E$.
3. Pourquoi utiliser $0,37 \cdot E$ pour trouver $\tau$ en décharge ?
Vérification graphique.
Car $e^{-1} \approx 0,37$. À $t=\tau$, le condensateur a perdu 63% de sa tension.
Bilan et évaluation
Bilan de l'expérience
Lors de sa décharge dans un résistor, le condensateur se comporte comme un générateur transitoire restituant son énergie électrique (dissipée par effet Joule). La tension $u_C$ subit une décroissance exponentielle dont la lenteur dépend de la constante de temps du circuit $\tau = R \cdot C$.
Questions d'évaluation
Q1. Que vaut l'intensité du courant à la fin du régime transitoire de décharge ?
Q2. En appliquant la loi des mailles pour la décharge, écrire la relation entre $u_R$ et $u_C$.
Q3. Sous quelle forme l'énergie emmagasinée par le condensateur est-elle dissipée ?
8. Documents à télécharger
Supports imprimables : activités, exercices et figures
