Document : Situation de départ

Dans un immeuble résidentiel, les habitants utilisent un bouton poussoir pour allumer la lumière de l'escalier. Le système est équipé d'une minuterie qui permet de maintenir les lampes allumées pendant une durée suffisante pour monter les étages, puis de les éteindre automatiquement pour économiser l'énergie. Suite à une panne, le syndic de l'immeuble remarque que la durée d'éclairage est devenue très courte. En examinant le boîtier électronique de commande, on identifie un circuit comportant un conducteur ohmique de résistance $R$ et un condensateur de capacité $C$.

👉 Problème : Comment l'association de ces composants (R et C) permet-elle de contrôler la durée de fonctionnement de la minuterie ? Comment choisir les valeurs de R ou C pour rétablir une durée d'éclairage suffisante ?

Activité documentaire : La bouteille de Leyde

La bouteille de Leyde, inventée au 18ème siècle, est l'ancêtre du condensateur moderne. Elle est constituée d'une bouteille en verre (isolant) recouverte de feuilles de métal à l'intérieur et à l'extérieur (les armatures ou armatures). Lorsqu'on relie l'armature centrale à un générateur électrostatique, la bouteille accumule une grande quantité d'électricité capable de produire une forte étincelle lors de la décharge.

Questions :

1 En considérant les deux feuilles de métal comme des plaques conductrices séparées par du verre, représenter le schéma électrique équivalent de ce dispositif relié à un générateur $G$ de tension continue.

2 Identifier le pôle positif et le pôle négatif sur les plaques après la charge.

3 Déterminer la relation entre la charge $q_A$ de la plaque positive et la charge $q_B$ de la plaque négative.

4 Déduire, à partir du fonctionnement de ce dispositif, comment l'électricité est stockée.

Activité expérimentale : Charge à l'aide d'un générateur de courant

On réalise le circuit suivant comprenant un condensateur déchargé, relié à un générateur de courant idéal. Ce type de générateur débite un courant d'intensité constante $I_0 = 100 \mu\text{A}$. On ferme l'interrupteur à l'instant $t=0$ et on relève la tension $u_C$ aux bornes du condensateur toutes les 10 secondes à l'aide d'un voltmètre.

Tableau des mesures :

Questions :

1 Sachant que l'intensité du courant est constante, donner l'expression de la charge $q$ accumulée sur l'armature positive en fonction de $I_0$ et $t$.

2 Compléter la dernière ligne du tableau.

3 Tracer (ou observer) l'allure de la courbe représentant les variations de $q$ en fonction de $u_C$ : $q = f(u_C)$.

4 En déduire la relation mathématique liant $q$ et $u_C$. Introduire une constante de proportionnalité $C$.

Activité expérimentale : La charge du condensateur

On réalise le montage électrique constitué d'un générateur idéal de tension continue (E), un interrupteur $K$, un résistor $R$ et un condensateur $C$ totalement déchargé.

Questions :

1 À l'instant $t=0$, on ferme l'interrupteur. L'oscilloscope affiche l'évolution de la tension $u_C$ aux bornes du condensateur. Décrire les deux régimes d'évolution observés sur la courbe.

2 Pour comprendre comment fonctionne la minuterie de l'immeuble, on refait l'expérience en modifiant successivement la résistance $R$ puis la capacité $C$. En observant les graphiques résultants, déduire les facteurs qui influencent la durée de la charge.

Activité expérimentale : La décharge du condensateur

On considère le condensateur précédent, désormais complètement chargé sous la tension $E$. On bascule l'interrupteur pour l'isoler du générateur et le relier uniquement à un conducteur ohmique $R'$.

Questions :

1 L'oscilloscope affiche l'évolution de la tension. Décrire comment la tension $u_C$ évolue au cours de la décharge.

2 Quels sont les facteurs qui permettent d'accélérer ou de ralentir le processus de décharge dans le circuit ?

Exercice 1 : Étude de la charge d'un condensateur

Pour déterminer la capacité $C$ d'un condensateur, on réalise un circuit série constitué de : un générateur de tension idéale de f.é.m $E = 12 \text{ V}$, un résistor de résistance $R = 1,0 \text{ k}\Omega$, un condensateur totalement déchargé et un interrupteur $K$. On ferme l'interrupteur à l'instant $t=0$. Le suivi de la tension a permis d'obtenir la courbe de $u_C = f(t)$.

Questions :

1 Reproduire le schéma du montage en y indiquant la flèche de tension $u_C$ en convention récepteur, ainsi que le branchement de l'oscilloscope pour la visualiser.

2 Établir l'équation différentielle régissant l'évolution de la tension $u_C(t)$ au cours de la charge.

3 La solution de cette équation différentielle s'écrit sous la forme $u_C(t) = A(1 - e^{-t/\tau})$. En remplaçant dans l'équation, déterminer les expressions des constantes $A$ et $\tau$.

4 Par analyse dimensionnelle, prouver que la constante $\tau$ est homogène à un temps.

5 Déterminer graphiquement (sur le document fourni) la valeur de la constante de temps $\tau$. En déduire la valeur de la capacité $C$ du condensateur.

6 Calculer l'énergie électrique maximale emmagasinée par le condensateur en régime permanent.

Exercice 2 : Étude de la décharge d'un condensateur

Les chaînes électroniques HiFi contiennent souvent des filtres RC. Cet exercice vise à modéliser le comportement de ce circuit lors d'une coupure de signal. On réalise un montage permettant de décharger un condensateur préalablement chargé sous une tension $E = 10 \text{ V}$, dans un conducteur ohmique de résistance $R = 2 \text{ k}\Omega$. À $t=0$, on déclenche la décharge.

Questions :

1 Reproduire le schéma du circuit de décharge en fléchant le courant et les tensions.

2 En appliquant la loi d'additivité des tensions, montrer que l'équation différentielle s'écrit $u_C + \tau \frac{du_C}{dt} = 0$, en précisant l'expression de $\tau$.

3 La solution de l'équation est $u_C(t) = E \cdot e^{-t/\tau}$. Montrer que l'expression de la fonction logarithme de la tension s'écrit : $\ln(u_C) = -\frac{1}{\tau} \cdot t + \ln(E)$.

4 En exploitant la courbe représentant $\ln(u_C) = f(t)$ (qui est une droite de pente négative), déterminer la valeur de $\tau$.

5 Déduire la valeur de la capacité $C$.

6 Calculer l'énergie thermique dissipée par effet Joule dans le résistor à la fin totale de la décharge.

Exercice 3 : Étude complète charge et décharge (Problème de synthèse)

On réalise le montage schématisé ci-dessous comportant : un générateur idéal de tension continue de f.é.m $E = 6 \text{ V}$, deux conducteurs ohmiques de résistances $R_1 = 100 \text{ }\Omega$ et $R_2$ inconnue, un condensateur de capacité $C$ et un commutateur $K$ à double position.

Questions :

Partie A : Le commutateur est basculé à la position 1 à $t=0$.

1 Quel phénomène se produit-il dans cette position 1 ?

2 Établir l'équation différentielle vérifiée par la charge $q(t)$ du condensateur.

3 La solution de cette équation est de la forme $q(t) = Q_{max} (1 - e^{-t/\tau_1})$. Exprimer $Q_{max}$ et $\tau_1$ en fonction des paramètres du circuit.

4 La courbe expérimentale a permis de trouver une constante de temps $\tau_1 = 2 \text{ ms}$. Calculer la capacité $C$ du condensateur.

5 Déterminer la valeur de l'intensité du courant $I_0$ à l'instant $t=0$ juste à la fermeture du circuit.

Partie B : Une fois le régime permanent atteint, on bascule le commutateur en position 2. On prend un nouveau repère de temps $t=0$.

6 Quel est le nouveau rôle du condensateur dans le circuit ?

7 Établir la nouvelle équation différentielle vérifiée par la tension $u_C(t)$ impliquant la nouvelle résistance totale.

8 En admettant que la nouvelle constante de temps de ce processus est $\tau_2 = 10 \text{ ms}$, déduire la valeur de la résistance inconnue $R_2$.

9 Calculer la valeur de la tension $u_C$ à l'instant spécifique $t = \tau_2$.

10 Calculer le pourcentage de l'énergie électrique restante dans le condensateur à cet instant $t = \tau_2$ par rapport à son énergie initiale totale.