Document : Situation de départ

Dans une grande station de conditionnement d'agrumes destinés à l'exportation au Maroc, le responsable technique constate deux phénomènes sur les moteurs électriques des tapis roulants et des pompes :
1) Lors de la mise en marche (fermeture de l'interrupteur), les moteurs démarrent avec un léger retard avant d'atteindre leur régime nominal.
2) Plus dangereux, lors de l'arrêt d'urgence (ouverture de l'interrupteur), une étincelle vive apparaît souvent au niveau du contacteur, risquant de déclencher un incendie ou d'endommager le matériel.

Problème : Comment expliquer cette "inertie" au démarrage et l'apparition de cette étincelle dangereuse à l'arrêt ? Quel composant électrique dans le moteur en est la cause et comment le modéliser pour protéger l'installation ?

Activité expérimentale 1 : Influence d'une bobine dans un circuit

On réalise un circuit électrique comportant un générateur de tension, un interrupteur $K$ et deux branches montées en parallèle :
- La branche 1 contient un conducteur ohmique de résistance $R$ en série avec une lampe $L_1$.
- La branche 2 contient une bobine (d'inductance $L$ et de résistance interne $r = R$) en série avec une lampe $L_2$ identique à $L_1$.

Questions :

1 Lors de la fermeture de l'interrupteur, on observe que la lampe $L_1$ s'allume instantanément, tandis que la lampe $L_2$ s'allume progressivement avec un retard. Comment expliquer ce retard ?

2 Lors de l'ouverture brusque de l'interrupteur, on peut observer une étincelle au niveau du contact. Quel est le rôle de la bobine dans ce phénomène ?

3 Déduire la propriété fondamentale de la bobine dans un circuit électrique.

Activité expérimentale 2 : Expression de la tension $u_L$

Partie A : Régime continu (Courant constant)
On alimente une bobine (L, r) par un générateur de tension continue. On mesure l'intensité $I$ et la tension $U_{ab}$ en régime permanent.

Tableau de mesures :

Partie B : Régime variable (Courant triangulaire)
On alimente un circuit série (Bobine + Résistor $R$) par un générateur GBF délivrant une tension alternative triangulaire. On visualise sur l'oscilloscope la tension $u_R$ (qui est l'image du courant $i$) et la tension $u_L$ aux bornes de la bobine.

Questions :

1 Pour le régime continu, tracer l'allure de la courbe $U_{ab} = f(I)$ et déduire l'expression de la tension. Comment se comporte la bobine ?

2 La voie $Y_1$ de l'oscilloscope visualise la tension $u_R(t)$. Comment peut-on déduire l'évolution de l'intensité du courant $i(t)$ à partir de cette courbe ?

3 Pour le régime variable, sachant que la dérivée mathématique d'une fonction affine (droite) est une constante (créneau), et en utilisant la relation entre $u_L$ et $\frac{du_R}{dt}$, quelle relation mathématique lie la tension $u_L$ aux variations du courant $i$ ?

4 En combinant les deux régimes, déduire l'expression générale de la tension aux bornes d'une bobine réelle.

Activité expérimentale : Établissement du courant

On réalise le circuit ci-dessous. À l'instant $t=0$, on ferme l'interrupteur $K$ pour appliquer la tension $E$. Un système d'acquisition informatisé trace l'évolution de l'intensité $i(t)$ dans le circuit.

Questions :

1 Observer la courbe de $i(t)$. Identifier les deux régimes de fonctionnement et nommer la phase où l'effet de la bobine est visible.

2 Pour identifier les facteurs influençant la rapidité de cet établissement, on modifie $R$ puis $L$. D'après les courbes résultantes, quel est l'effet d'une augmentation de $L$ ? Quel est l'effet d'une augmentation de la résistance totale du circuit ?

Activité expérimentale : L'annulation du courant

Une fois le régime permanent atteint, on bascule l'interrupteur (ou on utilise un montage spécifique de court-circuit) pour isoler le générateur. La bobine se retrouve en circuit fermé uniquement avec le conducteur ohmique.

Questions :

1 Comment évolue l'intensité du courant après l'isolation du générateur ?

2 En observant les courbes de décharge pour différentes valeurs, comment $R$ et $L$ influencent-ils la rapidité d'annulation du courant ?

Exercice 1 : Étude de la réponse du dipôle RL par suivi de $u_R(t)$

On réalise un montage en série comprenant un générateur idéal de tension continue $E$, un interrupteur $K$, un conducteur ohmique de résistance $R = 90 \Omega$ et une bobine d'inductance $L$ et de résistance interne $r$. À $t=0$, on ferme le circuit. Un système d'acquisition enregistre la tension $u_R(t)$ aux bornes du conducteur ohmique.

Questions :

1 Reproduire le schéma du circuit en indiquant le sens du courant et les flèches des tensions $u_R$ et $u_L$ en convention récepteur.

2 Indiquer sur le schéma comment brancher un oscilloscope pour visualiser l'évolution de l'intensité du courant $i(t)$ de manière indirecte. Justifier ce choix.

3 En appliquant la loi d'additivité des tensions, établir l'équation différentielle vérifiée par la tension $u_R(t)$.

4 D'après la courbe, déterminer la valeur de la tension maximale $U_{R,max}$ en régime permanent. En déduire l'intensité maximale $I_0$.

5 Sachant que $E = 12 \text{ V}$, déterminer la valeur de la résistance interne $r$ de la bobine.

6 Déterminer graphiquement la valeur de la constante de temps $\tau$, puis calculer la valeur de l'inductance $L$.

7 Si l'on remplace le conducteur ohmique par un autre de résistance $R' = 180 \Omega$, comment sera modifiée la durée du régime transitoire ?

Exercice 2 : Exploitation de la courbe $\frac{di}{dt} = f(i)$

Lors de l'étude de l'établissement du courant dans un circuit série (Générateur $E$, Bobine $(L, r)$, Résistor $R = 40 \Omega$), un logiciel adapté permet de tracer l'évolution de la dérivée de l'intensité $\frac{di}{dt}$ en fonction de l'intensité $i$ du courant.

Questions :

1 Établir l'équation différentielle vérifiée par l'intensité $i(t)$.

2 À partir de cette équation, exprimer $\frac{di}{dt}$ sous la forme d'une fonction affine de $i$ : $\frac{di}{dt} = A \cdot i + B$. Donner les expressions de $A$ et $B$ en fonction des paramètres du circuit.

3 En exploitant le graphique, déterminer la valeur numérique de la constante $B$ (ordonnée à l'origine).

4 En exploitant le graphique, déterminer la valeur de l'intensité en régime permanent $I_0$ (abscisse où la dérivée s'annule).

5 Calculer le coefficient directeur de la droite et en déduire la valeur de la constante de temps $\tau$.

6 Sachant que $E = 6 \text{ V}$, déduire la valeur de l'inductance $L$ de la bobine.

7 Déduire la valeur de la résistance interne $r$ de la bobine.

Exercice 3 : Rupture du courant et suivi de la tension $u_L(t)$

On étudie la rupture du courant dans un dipôle RL. À $t=0$, on ouvre l'interrupteur du circuit d'alimentation principal, et la bobine (idéale, $r=0$) se décharge dans un conducteur ohmique $R = 50 \Omega$. Le courant initial valait $I_0 = 0,2 \text{ A}$. L'acquisition informatique fournit la courbe de l'évolution de la tension $u_L(t)$ aux bornes de la bobine lors de cette rupture.

Questions :

1 Justifier théoriquement la valeur abrupte de $u_L$ à l'instant $t=0^+$.

2 Établir l'équation différentielle vérifiée par le courant $i(t)$ dans ce circuit de décharge.

3 En sachant que pour une bobine idéale $u_L = L \frac{di}{dt}$, déduire l'équation différentielle vérifiée par la tension $u_L(t)$.

4 Montrer que $u_L(t) = -R \cdot I_0 \cdot e^{-t/\tau}$ est solution de cette équation.

5 Vérifier par le calcul que la valeur initiale lue sur le graphe correspond bien à la formule trouvée à $t=0$.

6 Déterminer graphiquement la constante de temps $\tau$ (par la méthode mathématique à 37%).

7 Calculer la valeur de l'énergie magnétique qui a été dissipée entre l'instant $t=0$ et l'instant $t=\tau$.