Les oscillateurs mécaniques

Objectifs pédagogiques

• Reconnaître les différents types d'oscillateurs mécaniques (élastique, torsion, pesant, simple).
• Établir en détail l'équation différentielle du mouvement pour chaque oscillateur.
• Déterminer l'expression de la période propre des oscillations par une démonstration rigoureuse.
• Comprendre les différents régimes d'amortissement.
• Expliquer le phénomène de résonance mécanique.

Compétences visées

• Savoir exploiter la deuxième loi de Newton pour les mouvements de translation et de rotation.
• Résoudre des équations différentielles linéaires du second ordre.

Vérifiez vos prérequis

Énoncez la deuxième loi de Newton pour un mouvement de translation.

La somme vectorielle des forces extérieures est égale au produit de la masse par l'accélération du centre d'inertie :

$$ \sum \overrightarrow{F}_{ext} = m \cdot \overrightarrow{a}_G $$

Énoncez la relation fondamentale de la dynamique pour la rotation.

La somme algébrique des moments des forces extérieures par rapport à un axe fixe $(\Delta)$ est égale au produit du moment d'inertie $J_{\Delta}$ par l'accélération angulaire $\ddot{\theta}$ :

$$ \sum M_{\Delta}(\overrightarrow{F}_{ext}) = J_{\Delta} \cdot \ddot{\theta} $$

Quelle est la dérivée seconde par rapport au temps de la fonction $x(t) = X_m \cos(\omega t + \varphi)$ ?

La dérivée première est $\dot{x}(t) = -X_m \omega \sin(\omega t + \varphi)$.
La dérivée seconde est $\ddot{x}(t) = -X_m \omega^2 \cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2 \cdot x(t)$.

Situation de départ

Sur une route nationale secondaire traversant une zone montagneuse, un camion de transport de marchandises roule sur une piste comportant des ondulations régulières. Le conducteur remarque un phénomène inquiétant : lorsque le camion atteint une vitesse bien précise (par exemple 30 km/h), le véhicule se met à vibrer violemment, menaçant la stabilité du chargement. Étonnamment, ces secousses diminuent s'il accélère ou s'il ralentit. En même temps, un chapelet suspendu au rétroviseur oscille doucement à sa propre cadence.

Problème : Quelle est l'origine physique de ces vibrations violentes à une vitesse spécifique ? Comment expliquer les comportements différents des suspensions du camion (Ressorts) et de l'objet suspendu (Pendule) ?

1. Présentation et amortissement

Définition d'un oscillateur mécanique

Il est caractérisé par :

• La position d'équilibre stable : C'est la position où le système tend à revenir lorsqu'on l'en écarte.
• L'amplitude : C'est la valeur maximale positive (élongation ou angle) atteinte par le système ($X_m$ ou $\theta_m$).
• La période propre ($T_0$) : C'est la durée (en secondes) d'une oscillation complète lorsqu'il n'y a pas de frottements.

L'amortissement des oscillations

Dans la réalité, les forces de frottement (fluides avec l'air ou solides) dissipent le mouvement. On distingue trois régimes d'amortissement :

• Le régime pseudo-périodique : Les frottements sont faibles. L'amplitude diminue progressivement. Le système effectue plusieurs oscillations avant de s'arrêter. La pseudo-période $T$ est souvent très proche de $T_0$.
• Le régime apériodique : Les frottements sont très forts. Le système revient à sa position d'équilibre sans jamais la dépasser (aucune oscillation).
• Le régime critique : C'est la frontière entre les deux précédents. Le système revient à l'équilibre le plus rapidement possible.

2. Le pendule élastique

Le pendule élastique est constitué d'un solide de masse $m$ attaché à un ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de constante de raideur $K$.

Pendule élastique horizontal

a. L'équation différentielle détaillée

On écarte le solide de $X_m$ et on le lâche. On néglige les frottements.

Bilan des forces : Le Poids $\overrightarrow{P}$, l'action du plan $\overrightarrow{R}$ (perpendiculaire car pas de frottement), et la force de rappel du ressort $\overrightarrow{F} = -K \cdot x \cdot \overrightarrow{i}$.

Application de la deuxième loi de Newton : $\overrightarrow{P} + \overrightarrow{R} + \overrightarrow{F} = m \cdot \overrightarrow{a}_G$

Projection sur l'axe $(O,x)$ orienté dans le sens du mouvement :

$$ 0 + 0 - K \cdot x = m \cdot a_x $$

Sachant que $a_x = \ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2}$, on obtient l'équation différentielle :

b. Solution de l'équation et démonstration de la période $T_0$

La solution mathématique est de la forme : $x(t) = X_m \cdot \cos(\frac{2\pi}{T_0} t + \varphi)$.

Démontrons l'expression de $T_0$. Dérivons la solution deux fois :

$$ \dot{x}(t) = -X_m \cdot \frac{2\pi}{T_0} \cdot \sin(\frac{2\pi}{T_0} t + \varphi) $$

$$ \ddot{x}(t) = -X_m \cdot \left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 \cdot \cos(\frac{2\pi}{T_0} t + \varphi) = -\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 \cdot x(t) $$

Remplaçons $\ddot{x}$ dans l'équation différentielle :

$$ -\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 x + \frac{K}{m} x = 0 \implies x \left[ \frac{K}{m} - \left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 \right] = 0 $$

Pour que cette équation soit vérifiée à tout instant $t$, il faut que la parenthèse soit nulle :

$$ \left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 = \frac{K}{m} \implies \frac{2\pi}{T_0} = \sqrt{\frac{K}{m}} $$

Pendule élastique vertical

a. Condition d'équilibre

À l'équilibre, le ressort est allongé de $\Delta l_e$. Les forces se compensent : $\overrightarrow{P} + \overrightarrow{F}_e = \overrightarrow{0}$.

En projetant sur un axe $(O,x)$ orienté vers le bas : $m \cdot g - K \cdot \Delta l_e = 0 \implies m \cdot g = K \cdot \Delta l_e$.

b. L'équation différentielle détaillée

Lors du mouvement, l'allongement total est $\Delta l = \Delta l_e + x$. La force de rappel devient $\overrightarrow{F} = -K(\Delta l_e + x)\overrightarrow{i}$.

Deuxième loi de Newton : $\overrightarrow{P} + \overrightarrow{F} = m \cdot \overrightarrow{a}_G$. Projection sur $(O,x)$ :

$$ m \cdot g - K(\Delta l_e + x) = m \cdot \ddot{x} $$

$$ m \cdot g - K \cdot \Delta l_e - K \cdot x = m \cdot \ddot{x} $$

Or d'après la condition d'équilibre, $m \cdot g - K \cdot \Delta l_e = 0$. Il reste donc :

$$ -K \cdot x = m \cdot \ddot{x} \implies m \cdot \ddot{x} + K \cdot x = 0 $$

On retrouve exactement la même équation différentielle et donc la même période $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$.

Pendule élastique incliné

L'équation différentielle détaillée

À l'équilibre sur un plan incliné d'un angle $\alpha$, la projection du poids compense la force de rappel : $m \cdot g \cdot \sin\alpha = K \cdot \Delta l_e$.

En mouvement, l'allongement est $\Delta l = \Delta l_e + x$. Newton : $\overrightarrow{P} + \overrightarrow{R} + \overrightarrow{F} = m \cdot \overrightarrow{a}_G$.

Projection sur l'axe $(O,x)$ parallèle au plan incliné vers le bas :

$$ P_x + 0 - F = m \cdot \ddot{x} $$

$$ m \cdot g \cdot \sin\alpha - K(\Delta l_e + x) = m \cdot \ddot{x} $$

$$ m \cdot g \cdot \sin\alpha - K \cdot \Delta l_e - K \cdot x = m \cdot \ddot{x} $$

Puisque $m \cdot g \cdot \sin\alpha - K \cdot \Delta l_e = 0$, il nous reste :

La période est toujours strictement identique : $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$. L'inclinaison ne change pas la période !

3. Pendules de torsion, pesant, simple et résonance

Le pendule de Torsion

Il est constitué d'une barre horizontale suspendue par son centre à un fil métallique (fil de torsion) de constante de torsion $C$. Le moment d'inertie de la barre est $J_\Delta$.

a. Équation différentielle détaillée

On tourne la barre d'un angle $\theta$ et on la lâche. Les forces sont : le poids $\overrightarrow{P}$, la tension du fil $\overrightarrow{T}$, et le couple de rappel du fil dont le moment est $M_c = -C \cdot \theta$.

Appliquons la relation fondamentale de la dynamique (rotation) :

$$ \sum M_\Delta = J_\Delta \cdot \ddot{\theta} $$

$$ M_\Delta(\overrightarrow{P}) + M_\Delta(\overrightarrow{T}) + M_c = J_\Delta \cdot \ddot{\theta} $$

Les lignes d'action de $\overrightarrow{P}$ et $\overrightarrow{T}$ coupent l'axe de rotation, leurs moments sont nuls. Il reste :

$$ -C \cdot \theta = J_\Delta \cdot \ddot{\theta} \implies J_\Delta \cdot \ddot{\theta} + C \cdot \theta = 0 $$

b. Solution et période propre $T_0$

Solution : $\theta(t) = \theta_m \cdot \cos(\frac{2\pi}{T_0} t + \varphi)$. En dérivant deux fois : $\ddot{\theta} = -(\frac{2\pi}{T_0})^2 \theta$.

On remplace dans l'équation : $\theta [ -(\frac{2\pi}{T_0})^2 + \frac{C}{J_\Delta} ] = 0$. On trouve :

Le pendule Pesant

Un pendule pesant est un solide capable d'osciller autour d'un axe horizontal $(\Delta)$ ne passant pas par son centre de gravité G. La distance entre l'axe et G est notée $d$.

a. Équation différentielle détaillée

Forces appliquées : Le Poids $\overrightarrow{P}$ et la réaction de l'axe $\overrightarrow{R}$.

Relation fondamentale de la dynamique : $M_\Delta(\overrightarrow{P}) + M_\Delta(\overrightarrow{R}) = J_\Delta \cdot \ddot{\theta}$.

Le moment de $\overrightarrow{R}$ est nul. Le moment du poids est une force de rappel. En utilisant la trigonométrie (bras de levier $d \cdot \sin\theta$) :

$$ M_\Delta(\overrightarrow{P}) = -m \cdot g \cdot d \cdot \sin\theta $$

L'équation devient : $-m \cdot g \cdot d \cdot \sin\theta = J_\Delta \cdot \ddot{\theta} \implies \ddot{\theta} + \frac{m \cdot g \cdot d}{J_\Delta} \sin\theta = 0$.

Dans le cas des petites oscillations ($\theta \le 15^\circ$ ou $0,26 \text{ rad}$), on a l'approximation mathématique $\sin\theta \approx \theta$ (en radians). L'équation devient linéaire :

b. Période propre $T_0$

Par analogie avec les démonstrations précédentes, la solution est $\theta(t) = \theta_m \cos(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi)$, ce qui donne :

Le pendule Simple

C'est un cas particulier idéal du pendule pesant : une petite masse ponctuelle $m$ suspendue à un fil inextensible et de masse négligeable, de longueur $l$.

Démonstration de la période

On applique les formules du pendule pesant en sachant que pour une masse ponctuelle au bout d'un fil :

1) La distance $d$ (entre l'axe et G) est égale à la longueur $l$ du fil : $d = l$.

2) Le moment d'inertie d'une masse ponctuelle est : $J_\Delta = m \cdot l^2$.

En remplaçant ces valeurs dans l'équation différentielle des petites oscillations du pendule pesant, on obtient :

La période propre se simplifie en :

La période d'un pendule simple est totalement indépendante de sa masse.

La résonance mécanique

Lorsqu'on veut éviter qu'un système s'arrête à cause des frottements, on lui fournit de l'énergie. On utilise un dispositif extérieur appelé l'Excitateur (ex: un moteur) qui va imposer sa fréquence $N_e$ (ou période $T_e$) au système oscillant appelé le Résonateur.

Le phénomène de résonance se produit lorsque la fréquence de l'excitateur s'approche de la fréquence propre du résonateur ($N_e = N_0$). À cet instant précis, l'amplitude des oscillations du résonateur devient maximale. (C'est ce qui explique les violentes vibrations du camion dans notre situation de départ !)

Vidéos complémentaires

4. Applications dans la vie réelle

5. Exercices corrigés

Exercice 1 : le pendule élastique incliné

Un solide (S) de masse $m = 200 \text{ g}$ est accroché à l'extrémité d'un ressort à spires non jointives de raideur $K$. Le ressort est disposé sur un plan incliné d'un angle $\alpha = 30^\circ$ par rapport à l'horizontale. On néglige tous les frottements.

• 1 Faire le bilan des forces appliquées au solide (S) à l'état d'équilibre.
• 2 Sachant qu'à l'équilibre l'allongement du ressort est $\Delta l_e = 4 \text{ cm}$, écrire la condition d'équilibre et calculer la raideur $K$.
• 3 On écarte le solide de sa position d'équilibre et on le lâche. En appliquant la deuxième loi de Newton, établir l'équation différentielle vérifiée par $x(t)$.
• 4 Déduire l'expression de la période propre $T_0$ et calculer sa valeur.
• 5 On écarte (S) vers le bas d'une distance $X_m = 2 \text{ cm}$ et on le lâche sans vitesse initiale à $t=0$. Écrire l'équation horaire du mouvement $x(t)$.
• 6 Déterminer l'expression de la vitesse $v(t)$ et déduire sa valeur maximale $v_{max}$.

Données : $g = 10 \text{ m/s}^2$ et $\pi^2 \approx 10$.

Voir la solution 1

Attention. Pensez toujours à convertir la masse en (kg) et les distances en (m) avant tout calcul numérique !

1 À l'équilibre, le solide est soumis à : Son poids $\overrightarrow{P}$, la réaction du plan $\overrightarrow{R}$, et la force de rappel du ressort $\overrightarrow{F}_e$.

2 Condition d'équilibre (projection sur l'axe Ox) : $m \cdot g \cdot \sin\alpha - K \cdot \Delta l_e = 0 \implies K = \frac{m \cdot g \cdot \sin\alpha}{\Delta l_e}$.
$A.N: K = \frac{0,2 \times 10 \times \sin(30^\circ)}{0,04} = 25 \text{ N/m}$.

3 En mouvement : $\overrightarrow{P} + \overrightarrow{R} + \overrightarrow{F} = m \cdot \overrightarrow{a}_G$.
Projection sur $(Ox)$ : $m \cdot g \cdot \sin\alpha - K(\Delta l_e + x) = m \cdot \ddot{x}$.
Sachant que $m \cdot g \cdot \sin\alpha - K \cdot \Delta l_e = 0$, on obtient : $-K \cdot x = m \cdot \ddot{x} \implies$

$\ddot{x} + \frac{K}{m}x = 0$

.

4 La période propre est : $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$.
$A.N: T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{0,2}{25}} = 2 \times \pi \times \sqrt{0,008} \approx 0,56 \text{ s}$.

5 La solution est $x(t) = X_m \cos(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi)$.
À $t=0$, $x(0) = X_m \cos(\varphi) = X_m \implies \cos(\varphi) = 1 \implies \varphi = 0$.
Donc : $x(t) = 0,02 \cos(11,2 \cdot t)$ (en mètres).

6 La vitesse : $v(t) = \dot{x}(t) = -X_m \frac{2\pi}{T_0} \sin(\frac{2\pi}{T_0}t)$.
La valeur maximale est $v_{max} = X_m \frac{2\pi}{T_0} \approx 0,02 \times 11,2 \approx 0,22 \text{ m/s}$.

Exercice 2 : le pendule de torsion

On considère un pendule de torsion constitué d'un fil métallique vertical et d'une barre homogène suspendue en son centre d'inertie. Le moment d'inertie de la barre est $J_\Delta = 2,9 \cdot 10^{-3} \text{ kg}\cdot\text{m}^2$.

On tourne la barre d'un angle $\theta_m$ et on la lâche sans vitesse initiale à $t=0$. L'enregistrement donne une période propre $T_0 = 1,2 \text{ s}$.

• 1 Faire le bilan des actions mécaniques exercées sur la barre.
• 2 Établir l'équation différentielle du mouvement en appliquant la relation fondamentale de la dynamique de rotation.
• 3 Donner l'expression de la période propre $T_0$ en fonction de $J_\Delta$ et $C$.
• 4 Calculer la valeur de la constante de torsion $C$ du fil.
• 5 Sachant qu'à $t=0$, l'angle initial est $\theta_m = \frac{\pi}{4} \text{ rad}$ et $\dot{\theta}=0$, déterminer la phase à l'origine $\varphi$.
• 6 Exprimer le moment du couple de torsion $M_c$ et calculer sa valeur maximale $M_{c,max}$.

Voir la solution 2

Attention. Pour faciliter le calcul de la constante C, pensez à élever l'expression de $T_0$ au carré : $T_0^2 = 4\pi^2 \frac{J_\Delta}{C}$.

1 La barre est soumise à : Son Poids $\overrightarrow{P}$, la tension du fil $\overrightarrow{T}$, et le couple de torsion $M_c$.

2 $\sum M_\Delta = J_\Delta \cdot \ddot{\theta} \implies M_\Delta(\overrightarrow{P}) + M_\Delta(\overrightarrow{T}) + M_c = J_\Delta \cdot \ddot{\theta}$.
Les moments de $\overrightarrow{P}$ et $\overrightarrow{T}$ sont nuls. $M_c = -C \cdot \theta$.
$-C \cdot \theta = J_\Delta \cdot \ddot{\theta} \implies$

$\ddot{\theta} + \frac{C}{J_\Delta}\theta = 0$

.

3 L'expression de la période est : $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{J_\Delta}{C}}$.

4 À partir de la période : $C = \frac{4\pi^2 \cdot J_\Delta}{T_0^2}$.
$A.N: C \approx \frac{40 \times 2,9 \cdot 10^{-3}}{(1,2)^2} \approx 0,08 \text{ N}\cdot\text{m/rad}$.

5 La solution est $\theta(t) = \theta_m \cos(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi)$.
À $t=0$, $\theta(0) = \theta_m \cos(\varphi) = \theta_m \implies \cos(\varphi) = 1 \implies \varphi = 0$.

6 Le moment du couple est $M_c = -C \cdot \theta$.
Sa valeur maximale correspond à l'amplitude : $M_{c,max} = C \cdot \theta_m = 0,08 \times \frac{\pi}{4} \approx 0,063 \text{ N}\cdot\text{m}$.

Exercice 3 : le pendule pesant et le pendule simple

Un pendule pesant est constitué d'une tige homogène de masse $m$ et de longueur $L$, pouvant tourner sans frottement autour d'un axe horizontal $(\Delta)$ passant par l'une de ses extrémités. La distance entre l'axe et le centre de gravité G est $d$. Son moment d'inertie est $J_\Delta$.

• 1 Définir ce qu'est un pendule pesant et nommer les forces appliquées lors de son oscillation.
• 2 Écrire l'expression du moment du poids $M_\Delta(\overrightarrow{P})$ lorsque la tige est écartée d'un angle $\theta$.
• 3 Par application de la relation fondamentale de la dynamique, démontrer l'équation différentielle pour des petites oscillations ($\sin\theta \approx \theta$).
• 4 En déduire l'expression de sa période propre $T_0$.
• 5 On modélise ce pendule pesant par un pendule simple synchrone (qui a la même période). Trouver l'expression de sa longueur équivalente $l$ en fonction de $J_\Delta$, $m$ et $d$.
• 6 Sachant que pour cette tige $d = \frac{L}{2}$ et $J_\Delta = \frac{1}{3}mL^2$, montrer que la longueur du pendule simple équivalent est $l = \frac{2}{3}L$.

Voir la solution 3

1 Un pendule pesant est tout solide capable d'osciller autour d'un axe horizontal ne passant pas par son centre de gravité. Forces : Le Poids $\overrightarrow{P}$ et l'action de l'axe $\overrightarrow{R}$.

2 Le moment du poids est une action de rappel : $M_\Delta(\overrightarrow{P}) = -m \cdot g \cdot d \cdot \sin\theta$.

3 $\sum M_\Delta = J_\Delta \cdot \ddot{\theta} \implies M_\Delta(\overrightarrow{R}) + M_\Delta(\overrightarrow{P}) = J_\Delta \cdot \ddot{\theta}$.
$M_\Delta(\overrightarrow{R}) = 0$. Donc : $-m \cdot g \cdot d \cdot \sin\theta = J_\Delta \cdot \ddot{\theta}$.
Pour les petites oscillations ($\sin\theta \approx \theta$) :

$\ddot{\theta} + \frac{m \cdot g \cdot d}{J_\Delta} \theta = 0$

.

4 Par identification, la période propre s'écrit : $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{J_\Delta}{m \cdot g \cdot d}}$.

5 Un pendule simple synchrone a pour période $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
En égalisant les deux expressions : $2\pi \sqrt{\frac{J_\Delta}{m \cdot g \cdot d}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \implies \frac{J_\Delta}{m \cdot d} = l$.

6 On remplace $J_\Delta$ et $d$ par leurs expressions :
$l = \frac{\frac{1}{3} m L^2}{m \cdot \frac{L}{2}} = \frac{1}{3} L^2 \times \frac{2}{L} \implies$

$l = \frac{2}{3}L$

.

6. QCM : 30 questions

7. Documents à télécharger

• Supports imprimables : activités, exercices et figures

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