Les supports didactiques imprimés de la leçon : Les oscillateurs Mécaniques
Activités de la leçon
Document : Situation de départ
Les suspensions d'un véhicule et un pendule sont des exemples classiques d'oscillateurs mécaniques.
Sur une route nationale secondaire traversant une zone montagneuse, un camion de transport de marchandises roule sur une piste comportant des ondulations régulières. Le conducteur remarque un phénomène inquiétant : lorsque le camion atteint une vitesse bien précise (par exemple 30 km/h), le véhicule se met à vibrer violemment, menaçant la stabilité du chargement. Étonnamment, ces secousses diminuent s'il accélère ou s'il ralentit. En même temps, un chapelet suspendu au rétroviseur oscille doucement à sa propre cadence.
Problème : Quelle est l'origine physique de ces vibrations violentes à une vitesse spécifique ? Comment expliquer les comportements différents des suspensions du camion (Ressorts) et de l'objet suspendu (Pendule) ?
Exercices d'application
Exercice 1 : Le Pendule Élastique Incliné
Pendule Élastique Incliné.
Un solide (S) de masse $m = 200 \text{ g}$ est accroché à l'extrémité d'un ressort à spires non jointives de raideur $K$. Le ressort est disposé sur un plan incliné d'un angle $\alpha = 30^\circ$ par rapport à l'horizontale. On néglige tous les frottements.
1 À l'équilibre, l'allongement du ressort est $\Delta l_e = 4 \text{ cm}$. Écrire la condition d'équilibre et en déduire la valeur de la raideur $K$ du ressort.
2 On écarte le solide de sa position d'équilibre et on le lâche sans vitesse initiale. En appliquant la deuxième loi de Newton, établir l'équation différentielle vérifiée par l'abscisse $x(t)$.
Données : $g = 10 \text{ m/s}^2$.
Exercice 2 : Le Pendule de Torsion
Pendule de Torsion.
On considère un pendule de torsion constitué d'un fil métallique vertical et d'une barre homogène suspendue en son centre d'inertie. Le moment d'inertie de la barre est $J_\Delta = 2,9 \cdot 10^{-3} \text{ kg}\cdot\text{m}^2$.
On tourne la barre d'un angle $\theta_m$ et on la lâche sans vitesse initiale à $t=0$.
1 Établir l'équation différentielle du mouvement en appliquant la relation fondamentale de la dynamique de rotation.
2 L'enregistrement du mouvement a permis de déterminer la période propre $T_0 = 1,2 \text{ s}$. Calculer la constante de torsion $C$ du fil.
Exercice 3 : Le Pendule Pesant
Pendule Pesant.
Un pendule pesant est constitué d'une tige homogène de masse $m$ pouvant tourner sans frottement autour d'un axe horizontal $(\Delta)$ passant par l'une de ses extrémités. La distance entre l'axe et le centre de gravité G est $d$. Son moment d'inertie est $J_\Delta$.
1 Par application de la relation fondamentale de la dynamique, démontrer que l'équation différentielle pour des petites oscillations s'écrit $\ddot{\theta} + \frac{m \cdot g \cdot d}{J_\Delta} \theta = 0$.
2 Une étude expérimentale en faisant varier la distance $d$ a permis de tracer la courbe de $T^2$ en fonction de $1/d$. Si on considère le modèle idéal du pendule simple, le moment d'inertie équivalent serait $J_\Delta = m \cdot l^2$ avec $d=l$. En déduire l'expression théorique reliant $T^2$ et la longueur $l$, puis identifier la pente de la courbe pour trouver $g$.
FIGURES de la leçon
Les courbes des trois régimes d'amortissement (pseudo-périodique, critique, apériodique).Pendule élastique horizontal et repère d'étude.Étude de l'équilibre et du mouvement du pendule vertical.Les forces appliquées sur un pendule incliné d'un angle $\alpha$.Pendule de torsion effectuant des rotations autour de l'axe vertical.Bilan des forces sur un pendule pesant écarté d'un angle $\theta$.L'étude graphique montre souvent la relation linéaire $T^2 = f(1/d)$ ou similaire pour extraire la gravité locale $g$.Le pendule simple est un modèle théorique idéal.Courbes de résonance : l'amplitude est maximale lorsque la fréquence de l'excitateur est égale à la fréquence propre.
