Étude énergétique des oscillateurs mécaniques

1 Pseudo-période $T$ et période propre $T_0$ :
Sur le graphe de l'énergie cinétique (ou potentielle), une période complète $T$ de l'oscillateur correspond à deux oscillations complètes de l'énergie (car l'énergie est au carré, elle repasse par son maximum deux fois par période).
La durée entre le premier pic d'énergie cinétique (à $t=0$) et le troisième pic est égale à $T$. Graphiquement, $T = 1,0 \text{ s}$.
Calculons la période propre $T_0$ :
$T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}} = 2\pi \sqrt{\frac{0,250}{10}} = 2\pi \sqrt{0,025} \approx 0,99 \text{ s}$.
On constate que $T \approx T_0$. Dans le cas d'un amortissement faible, la pseudo-période est pratiquement égale à la période propre.

2 Identification des courbes (a) et (b) :
À $t=0$, la courbe (a) commence par une valeur maximale, tandis que la courbe (b) commence à $0$.
Dans les conditions de lâcher classique d'un pendule écarté de sa position d'équilibre sans vitesse initiale :
- La vitesse est nulle, donc l'énergie cinétique $E_c = 0$.
- L'élongation est maximale, donc l'énergie potentielle élastique $E_{pe}$ est maximale.
Par conséquent, la courbe (a) représente l'énergie potentielle élastique $E_{pe}$, et la courbe (b) représente l'énergie cinétique $E_c$.

3 Non-conservation de l'énergie mécanique $E_m$ :
Le graphique montre que l'énergie mécanique $E_m$ (la courbe supérieure en escalier) diminue au cours du temps. Cette diminution est due au travail négatif (résistant) de la force de frottement $\vec{f} = -\mu \cdot \vec{v}$, qui dissipe l'énergie mécanique du système sous forme d'énergie thermique (chaleur).

4 Vitesse aux instants $t_1$ et $t_2$ :
Sur le graphe, aux instants $t_1 = 0,5 \text{ s}$ et $t_2 = 1,0 \text{ s}$ (qui correspondent aux minima de la courbe (b)), l'énergie cinétique est nulle : $E_c(t_1) = 0$ et $E_c(t_2) = 0$.
Puisque $E_c = \frac{1}{2} m v_G^2$, on en déduit que la vitesse $v_G$ est nulle à ces instants : $v_G(t_1) = v_G(t_2) = \mathbf{0 \text{ m/s}}$.
Ces instants correspondent aux positions d'élongation maximale du solide (points de rebroussement).

5 Intensité de la force de frottement à $t_1$ et $t_2$ :
La force de frottement est modélisée par $f = \mu \cdot |v|$.
Puisque la vitesse est nulle à $t_1$ et $t_2$ (calculé à la question précédente), la force de frottement est également nulle à ces instants précis : $f(t_1) = f(t_2) = \mathbf{0 \text{ N}}$.

6 Forme de la courbe de l'énergie mécanique :
La dérivée de l'énergie mécanique est donnée par : $\frac{dE_m}{dt} = P(\vec{f}) = \vec{f} \cdot \vec{v} = -\mu \cdot v^2$.
- Lorsque la vitesse est maximale (passage par la position d'équilibre), la perte d'énergie $\frac{dE_m}{dt}$ est maximale, ce qui correspond à une pente forte (marche descendante de l'escalier).
- Aux positions extrêmes (comme $t_1$ et $t_2$), la vitesse s'annule, donc $\frac{dE_m}{dt} = 0$. L'énergie mécanique reste constante un bref instant, ce qui correspond aux paliers horizontaux (le "plat" de la marche d'escalier).

7 Perte d'énergie $\Delta E_m$ entre $t_1$ et $t_2$ :
Par lecture graphique (courbe $E_m$) :
À $t_1 = 0,5 \text{ s}$, $E_m(t_1) \approx 0,02 \text{ J}$.
À $t_2 = 1,0 \text{ s}$, $E_m(t_2) \approx 0,01 \text{ J}$.
$\Delta E_m = E_m(t_2) - E_m(t_1) = 0,01 - 0,02 = \mathbf{-0,01 \text{ J}}$.
Le système a dissipé 0,01 J entre ces deux instants.

1 Expression de $E_{pp}$ :
L'énergie potentielle de pesanteur est $E_{pp} = m \cdot g \cdot z_G$.
D'après la géométrie du système, l'altitude $z_G$ du centre de gravité (situé à la distance $d = \frac{l}{2}$ de l'axe A) par rapport à sa position d'équilibre est :
$z_G = d - d\cos\theta = \frac{l}{2}(1 - \cos\theta)$.
En remplaçant, on obtient bien :

2 Expression de l'énergie mécanique $E_m$ (petites oscillations) :
$E_m = E_c + E_{pp} = \frac{1}{2} J_\Delta \dot{\theta}^2 + E_{pp}$.
Pour de petites oscillations, $\cos\theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2} \implies 1 - \cos\theta \approx \frac{\theta^2}{2}$.
Donc $E_{pp} \approx m \cdot g \cdot \frac{l}{2} \cdot \frac{\theta^2}{2} = m \cdot g \cdot \frac{l}{4} \cdot \theta^2$.
On sait que $J_\Delta = \frac{1}{3} m l^2$.
L'expression de l'énergie mécanique devient :

3 Équation différentielle :
Les frottements étant négligeables, l'énergie mécanique se conserve : $\frac{dE_m}{dt} = 0$.
$\frac{d}{dt}\left( \frac{1}{6} m l^2 \dot{\theta}^2 + \frac{1}{4} m g l \theta^2 \right) = 0$
$\frac{1}{6} m l^2 (2 \dot{\theta} \ddot{\theta}) + \frac{1}{4} m g l (2 \theta \dot{\theta}) = 0$
$\frac{1}{3} m l^2 \dot{\theta} \ddot{\theta} + \frac{1}{2} m g l \theta \dot{\theta} = 0$
$\dot{\theta} \left( \frac{1}{3} m l^2 \ddot{\theta} + \frac{1}{2} m g l \theta \right) = 0$. Puisque $\dot{\theta} \neq 0$ en général :
$\frac{1}{3} m l^2 \ddot{\theta} + \frac{1}{2} m g l \theta = 0$. On divise par $\frac{1}{3} m l^2$ :

4 Nature du mouvement dans les deux expériences :
- Dans l'expérience 1, l'énergie mécanique $E_{m1} = 0,5 \text{ J}$ (lecture sur le graphe, ligne en pointillés). La courbe de l'énergie potentielle $E_{pp}$ (courbe bleue) atteint la valeur de $E_{m1}$ en deux points (les limites d'oscillations). Le mouvement est donc un mouvement oscillatoire (va-et-vient).
- Dans l'expérience 2, l'énergie mécanique $E_{m2} = 2,5 \text{ J}$. Cette valeur est supérieure au maximum de l'énergie potentielle ($E_{pp\_max} = 2,0 \text{ J}$). L'énergie cinétique n'est donc jamais nulle. Le pendule franchit le point le plus haut et continue sa course. Le mouvement est un mouvement de rotation continue (révolutif).

5 Valeur maximale $\theta_{max}$ dans l'expérience 1 :
L'abscisse angulaire est maximale lorsque l'énergie potentielle est maximale et égale à l'énergie mécanique ($E_{pp} = E_{m1}$).
Sur le graphe, l'intersection de la droite $E_{m1} = 0,5 \text{ J}$ et de la courbe bleue $E_{pp}$ se produit pour une abscisse :

6 Déduction de la masse $m$ :
On a $E_{pp}(\theta_{max}) = E_{m1} = 0,5 \text{ J}$.
Or $E_{pp}(\theta_{max}) = m \cdot g \cdot \frac{l}{2} \cdot (1 - \cos\theta_{max})$.
$m = \frac{2 \cdot E_{m1}}{g \cdot l \cdot (1 - \cos\theta_{max})}$.
A.N : $\theta_{max} = \frac{\pi}{3}$ (soit $60^\circ$), donc $\cos(\frac{\pi}{3}) = 0,5$.
$m = \frac{2 \times 0,5}{9,80 \times 0,60 \times (1 - 0,5)} = \frac{1,0}{5,88 \times 0,5} = \frac{1,0}{2,94} \approx \mathbf{0,34 \text{ kg}}$ (soit 340 g).

7 Énergies cinétiques extrêmes dans l'expérience 2 :
On sait que $E_c = E_{m2} - E_{pp}$.
- L'énergie cinétique est maximale lorsque $E_{pp}$ est minimale ($E_{pp} = 0$, au point le plus bas).
$E_{c,max} = 2,5 - 0 = \mathbf{2,5 \text{ J}}$.
- L'énergie cinétique est minimale lorsque $E_{pp}$ est maximale ($E_{pp\_max} = 2,0 \text{ J}$ au sommet, lecture sur le graphe).
$E_{c,min} = 2,5 - 2,0 = \mathbf{0,5 \text{ J}}$.

1 Équation différentielle via l'étude énergétique :
L'énergie mécanique du pendule de torsion s'écrit : $E_m = E_c + E_{pt} = \frac{1}{2} J_\Delta \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} C \theta^2$.
En l'absence de frottements, l'énergie mécanique se conserve : $\frac{dE_m}{dt} = 0$.
$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} J_\Delta \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} C \theta^2\right) = 0$
$\frac{1}{2} J_\Delta (2 \dot{\theta} \ddot{\theta}) + \frac{1}{2} C (2 \theta \dot{\theta}) = 0$
$\dot{\theta} (J_\Delta \ddot{\theta} + C \theta) = 0$. Puisque le mouvement existe, $\dot{\theta} \neq 0$ :
$J_\Delta \ddot{\theta} + C \theta = 0 \implies$

2 Relation théorique $\ddot{\theta}$ et $\theta$ :
D'après l'équation différentielle établie : $\ddot{\theta} = -\frac{C}{J_\Delta} \theta$.
En posant la pulsation propre $\omega_0^2 = \frac{C}{J_\Delta}$, on a la relation :

3 Amplitude $\theta_m$ :
Sur le graphe, les valeurs extrêmes de l'abscisse angulaire $\theta$ correspondent à l'amplitude du mouvement.
La droite s'arrête aux valeurs $\theta = \frac{\pi}{6} \text{ rad}$ et $\theta = -\frac{\pi}{6} \text{ rad}$.
Donc, l'amplitude est

4 Coefficient directeur de la droite :
La droite passe par l'origine et par le point de coordonnées $(\theta = \frac{\pi}{6} \text{ rad} ; \ddot{\theta} = -21 \text{ rad/s}^2)$.
Le coefficient directeur (la pente) $a$ est :
$a = \frac{\Delta \ddot{\theta}}{\Delta \theta} = \frac{-21 - 0}{\frac{\pi}{6} - 0} = \frac{-21 \times 6}{\pi} = \frac{-126}{\pi}$.
En prenant $\pi \approx 3,14$, $a \approx -40,1 \text{ s}^{-2}$. (On peut garder la forme analytique).

5 Période propre $T_0$ :
D'après la théorie, $\ddot{\theta} = -\omega_0^2 \cdot \theta$. La pente du graphe correspond donc à $-\omega_0^2$.
$-\omega_0^2 = \frac{-126}{\pi} \implies \omega_0^2 = \frac{126}{\pi}$.
On sait que $T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} \implies T_0^2 = \frac{4\pi^2}{\omega_0^2}$.
$T_0^2 = \frac{4\pi^2}{\frac{126}{\pi}} = \frac{4\pi^3}{126}$.
En approximant $\pi^3 = \pi \cdot \pi^2 \approx \pi \cdot 10 \approx 31,4$, on a : $T_0^2 \approx \frac{4 \times 31,4}{126} \approx \frac{125,6}{126} \approx 1$.
D'où

6 Constante de torsion $C$ :
On a $\omega_0^2 = \frac{C}{J_\Delta}$, donc $C = J_\Delta \cdot \omega_0^2$.
La valeur exacte de $\omega_0^2$ (à partir de $T_0=1$) est $\omega_0^2 = \left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 = \frac{4\pi^2}{1^2} \approx 4 \times 10 = 40 \text{ rad/s}^2$.
$C = 9 \times 10^{-3} \times 40 = 360 \times 10^{-3} = \mathbf{0,36 \text{ N.m/rad}}$.

7 Énergie mécanique $E_m$ :
L'énergie mécanique se conserve et est égale à l'énergie potentielle de torsion maximale (lorsque la vitesse s'annule à $\theta = \theta_m$).
$E_m = E_{pt\_max} = \frac{1}{2} C \theta_m^2$.
A.N : $\theta_m = \frac{\pi}{6} \text{ rad}$.
$E_m = \frac{1}{2} \times 0,36 \times \left(\frac{\pi}{6}\right)^2 = 0,18 \times \frac{\pi^2}{36}$.
Avec $\pi^2 \approx 10$ : $E_m \approx 0,18 \times \frac{10}{36} = 0,18 \times \frac{5}{18} = \frac{0,90}{18} = \mathbf{0,05 \text{ J}}$.

1 Allongement à l'équilibre $\Delta l_e$ :
À l'équilibre, la somme des forces est nulle : $\vec{P} + \vec{R} + \vec{T}_e = \vec{0}$.
Par projection sur l'axe $(O; \vec{i})$ orienté vers le haut : $-mg \sin\alpha + K \Delta l_e = 0$.
Ce qui donne :

2 Équation différentielle :
Hors équilibre, le système est soumis aux mêmes forces, mais la tension devient $\vec{T} = K(\Delta l_e - x)\vec{i}$.
La 2ème loi de Newton s'écrit : $\vec{P} + \vec{R} + \vec{T} = m\vec{a}_G$.
Projection sur $(O; \vec{i})$ : $-mg \sin\alpha + K(\Delta l_e - x) = m\ddot{x}$.
Or $K\Delta l_e = mg\sin\alpha$, donc les termes s'annulent : $-Kx = m\ddot{x}$.
L'équation est :

3 Valeurs de $K$, $x_m$ et $\varphi$ :
- Graphiquement, la période propre est $T_0 = 0,8 \text{ s}$.
Puisque $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{K}}$, alors $K = \frac{4\pi^2 m}{T_0^2} = \frac{4 \times 10 \times 0,2}{(0,8)^2} = \mathbf{12,5 \text{ N/m}}$.
- L'amplitude de la vitesse (valeur max) est $v_m = 0,2 \text{ m/s}$. Or $v_m = x_m \cdot \frac{2\pi}{T_0}$.
Donc $x_m = \frac{v_m \cdot T_0}{2\pi} = \frac{0,2 \times 0,8}{2\sqrt{10}} \approx \mathbf{0,025 \text{ m}}$ (soit $2,5 \text{ cm}$).
- À $t=0$, $v(0) = +0,2 \text{ m/s} = v_m$. L'expression de la vitesse est $v(t) = -x_m \frac{2\pi}{T_0} \sin(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi)$.
Donc $-v_m \sin(\varphi) = v_m \implies \sin(\varphi) = -1 \implies \mathbf{\varphi = -\frac{\pi}{2} \text{ rad}}$.

4 Énergie potentielle élastique $E_{pe}$ :
La longueur du ressort à un instant $t$ dépend de $x$. L'allongement total est $(\Delta l_e - x)$.
Comme $E_{pe} = 0$ à l'état non déformé :

5 Énergie potentielle de pesanteur $E_{pp}$ :
$E_{pp} = mgz + Cte$. L'axe $z$ (altitude) est relié à $x$ par la trigonométrie : $z = x \sin\alpha$.
Comme $E_{pp}(O) = 0$, la constante est nulle.

6 Expression numérique de l'énergie mécanique $E_m$ :
$E_m = E_c + E_{pe} + E_{pp} = E_c + \frac{1}{2}K(\Delta l_e^2 - 2x\Delta l_e + x^2) + mgx\sin\alpha$.
En développant : $E_m = E_c + \frac{1}{2}K\Delta l_e^2 - Kx\Delta l_e + \frac{1}{2}Kx^2 + mgx\sin\alpha$.
Puisque $K\Delta l_e = mg\sin\alpha$, les termes $(- Kx\Delta l_e + mgx\sin\alpha)$ s'annulent.
Il reste : $E_m = E_c + \frac{1}{2}Kx^2 + \frac{1}{2}K\Delta l_e^2$.
Calculons la constante : $\Delta l_e = \frac{0,2 \times 10 \times 0,5}{12,5} = 0,08 \text{ m}$.
$\frac{1}{2}K\Delta l_e^2 = 0,5 \times 12,5 \times (0,08)^2 = 0,04 \text{ J}$ et $\frac{1}{2}K = 6,25$.
On obtient bien :

7 Variation de l'énergie mécanique avec frottements :
L'amplitude initiale est $x_{m0} = 2,5 \text{ cm}$. Après une période, elle devient $x_{m1} = 2,5 - 1,0 = 1,5 \text{ cm}$.
Aux positions extrêmes, $E_c = 0$, donc $E_m = E_p = 6,25x_m^2 + 0,04$.
$\Delta E_m = E_{m1} - E_{m0} = 6,25(x_{m1}^2 - x_{m0}^2)$.
$\Delta E_m = 6,25 \times (0,015^2 - 0,025^2) = 6,25 \times (-0,0004) = \mathbf{-0,0025 \text{ J}}$.

1 Allongement $\Delta l_0$ à l'équilibre :
Le solide est soumis à son Poids $\vec{P}$ et à la tension $\vec{T}_0$. À l'équilibre : $\vec{P} + \vec{T}_0 = \vec{0}$.
L'axe $(O, \vec{k})$ est dirigé vers le bas. Par projection : $mg - K\Delta l_0 = 0 \implies$

2 Équation différentielle :
Pendant le mouvement, l'allongement du ressort est $(\Delta l_0 + z)$. La tension est $\vec{T} = -K(\Delta l_0 + z)\vec{k}$.
D'après la 2ème loi de Newton : $\vec{P} + \vec{T} = m\vec{a}_G$.
Projection sur $Oz$ : $mg - K(\Delta l_0 + z) = m\ddot{z}$.
Sachant que $mg = K\Delta l_0$, il reste $-Kz = m\ddot{z}$, ce qui donne :

3 Valeur de la raideur $K$ :
D'après la courbe (Fig 2) du mouvement non amorti, la période propre est $T_0 = 0,2 \text{ s}$.
On sait que $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{K}} \implies K = \frac{4\pi^2 m}{T_0^2}$.
Application numérique : $K = \frac{4 \times 10 \times 0,2}{(0,2)^2} = \frac{8}{0,04} = \mathbf{200 \text{ N/m}}$.

4 Valeur de la vitesse initiale $V_{0z}$ :
À $t=0$, la courbe montre que $z(0) = 0$ et l'oscillateur se dirige vers les $z$ positifs. L'amplitude est $z_m = 3 \text{ cm} = 0,03 \text{ m}$.
Puisque $z(0) = 0$, toute l'énergie est cinétique et la vitesse est maximale. La vitesse est la dérivée de $z(t)$ : $v_z(t) = -z_m \frac{2\pi}{T_0} \sin(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi)$.
La valeur maximale de la vitesse est $V_{0z} = z_m \cdot \frac{2\pi}{T_0}$.
$V_{0z} = 0,03 \times \frac{2\pi}{0,2} = 0,3\pi \approx \mathbf{0,94 \text{ m/s}}$.

5 Régimes d'amortissement :
- Courbe (1) : Le solide effectue plusieurs oscillations dont l'amplitude diminue progressivement. C'est le régime pseudo-périodique (frottement faible).
- Courbe (2) : Le solide retourne directement à sa position d'équilibre sans osciller. C'est le régime apériodique (frottement fort).

6 Expression de l'énergie potentielle $E_p$ :
- L'axe $Oz$ est dirigé vers le bas. $E_{pp} = -mgz + Cte$. Comme $E_{pp}(0) = 0$, $E_{pp} = -mgz$.
- L'allongement total est $(\Delta l_0' + z)$. Donc $E_{pe} = \frac{1}{2}K(\Delta l_0' + z)^2$.
L'énergie potentielle totale est la somme :

7 Variation de l'énergie mécanique pour la courbe (1) :
Pour simplifier, on utilise la forme réduite de l'énergie mécanique pour les écarts à l'équilibre : $\Delta E_m = E_{m2} - E_{m1} = \frac{1}{2}K(z_2^2 - z_1^2)$ lorsque la vitesse est nulle aux deux instants.
- À $t_1 = 0 \text{ s}$, la courbe (1) part d'un sommet : $z_1 = 3 \text{ cm} = 0,03 \text{ m}$ (sans vitesse).
- À $t_2 = 0,4 \text{ s}$, la courbe atteint un autre sommet : $z_2 = 1 \text{ cm} = 0,01 \text{ m}$ (sans vitesse).
$\Delta E_m = \frac{1}{2} \times 200 \times (0,01^2 - 0,03^2) = 100 \times (0,0001 - 0,0009) = 100 \times (-0,0008) = \mathbf{-0,08 \text{ J}}$.
Le système a perdu $0,08 \text{ Joules}$ sous forme de chaleur thermique.