Atome et mécanique de Newton

Objectifs pédagogiques

• Montrer les limites de la mécanique de Newton à l'échelle atomique.
• Comprendre la nécessité de la quantification de l'énergie et le modèle de Bohr.
• Expliquer les spectres d'émission et d'absorption de l'atome d'hydrogène.
• Calculer la longueur d'onde et l'énergie des photons lors des transitions électroniques.
• Identifier les différentes séries spectrales (Lyman, Balmer, Paschen, etc.).

Compétences visées

• Démontrer rigoureusement les formules de quantification de l'énergie et des longueurs d'onde.
• Exploiter un diagramme de niveaux d'énergie pour identifier les rayonnements échangés.

Vérifiez vos prérequis

Quelle est l'expression de la force de gravitation universelle selon Newton ?

Deux corps de masses $m_A$ et $m_B$ s'attirent avec une force :

$$ F_g = G \frac{m_A \cdot m_B}{r^2} $$

Quelle est l'expression de la force électrostatique selon la loi de Coulomb ? (SM)

Deux charges ponctuelles $q_A$ et $q_B$ interactissent avec une force :

$$ F_e = K \frac{|q_A \cdot q_B|}{r^2} $$

Quelle est la relation entre l'énergie d'un photon, sa fréquence et sa longueur d'onde ?

L'énergie d'un photon est proportionnelle à sa fréquence $\nu$ :

$$ E = h \cdot \nu = \frac{h \cdot c}{\lambda} $$

Situation de départ

Lors des déplacements nocturnes sur les autoroutes ou à travers les principales artères des villes au Maroc, on remarque un éclairage public dominé par une lumière jaune-orangée très caractéristique. Contrairement à la lumière du soleil ou aux phares de voitures (spectre continu type arc-en-ciel), cette lumière issue des lampes à vapeur de sodium semble "pure" et monochromatique.

Si on appliquait strictement la mécanique de Newton (physique classique) à ces atomes de sodium, les électrons devraient s'écraser sur le noyau en émettant une lumière continue, ce qui contredit l'observation.

Problème : Pourquoi la mécanique de Newton échoue-t-elle à expliquer la stabilité de cette lumière jaune ? Comment l'énergie est-elle stockée et libérée dans ces atomes pour ne donner que des couleurs précises ?

1. Les limites de la mécanique de Newton

Activité documentaire 1 : Comparaison des forces dans l'atome

Ouvrir la simulation : Activité documentaire 1 : Comparaison des forces dans l'atome

Ouvrir la simulation en plein écran

Dans l'atome d'hydrogène, le proton (noyau) et l'électron sont séparés par une distance moyenne $r = 5,3 \cdot 10^{-11} \text{ m}$. Nous allons calculer et comparer les deux forces majeures qui agissent entre eux.

Expression de la force électrostatique :
Selon la loi de Coulomb :

$$ F_e = K \frac{|q_p \cdot q_e|}{r^2} $$

Données nécessaires :
Masse du proton : $m_p = 1,67 \cdot 10^{-27} \text{ kg}$
Masse de l'électron : $m_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}$
Charge du proton : $q_p = +e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}$
Charge de l'électron : $q_e = -e = -1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}$
Constante de gravitation : $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ (S.I)}$
Constante de Coulomb : $K = 9 \cdot 10^9 \text{ (S.I)}$

Questions :

1 En utilisant les formules des prérequis, calculer la valeur de la force gravitationnelle $F_g$ entre le proton et l'électron.
2 Calculer la valeur de la force électrostatique $F_e$ entre les deux particules.
3 Faire le rapport $F_e / F_g$. Que peut-on conclure sur la force responsable de la cohésion de l'atome ?

Voir les réponses

1 $F_g = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{(1,67 \cdot 10^{-27}) \cdot (9,1 \cdot 10^{-31})}{(5,3 \cdot 10^{-11})^2} \approx 3,6 \cdot 10^{-47} \text{ N}$.
2 $F_e = 9 \cdot 10^9 \frac{(1,6 \cdot 10^{-19}) \cdot (1,6 \cdot 10^{-19})}{(5,3 \cdot 10^{-11})^2} \approx 8,2 \cdot 10^{-8} \text{ N}$.
3 Le rapport $\frac{F_e}{F_g} \approx 2,3 \cdot 10^{39}$. La force électrostatique est infiniment plus grande que la force gravitationnelle. À l'échelle atomique, on néglige totalement la gravitation. L'atome est maintenu par les forces électriques !

L'attraction gravitationnelle

La loi de Newton stipule que deux corps s'attirent mutuellement avec une force proportionnelle à leurs masses et inversement proportionnelle au carré de la distance les séparant. Bien qu'essentielle à l'échelle astronomique, cette force devient totalement insignifiante à l'échelle de l'atome.

Les forces électriques

La loi de Coulomb décrit l'interaction entre deux particules chargées. Contrairement à la gravitation qui est toujours attractive, la force électrostatique peut être attractive (charges de signes opposés) ou répulsive (charges de même signe). C'est cette interaction puissante qui assure la cohésion du noyau et des électrons au sein de l'atome.

De la mécanique de Newton à la mécanique quantique

L'échec de la mécanique classique à l'échelle atomique a poussé les scientifiques à repenser complètement les fondements de la physique. Max Planck, Albert Einstein et Niels Bohr ont introduit le concept de "quanta" : l'énergie n'est pas continue, mais s'échange par petits paquets indivisibles appelés photons. Cette transition majeure marque la naissance de la mécanique quantique, indispensable pour comprendre la structure et la stabilité de la matière.

2. Le modèle de Bohr et quantification

Pour sauver la physique, le scientifique danois Niels Bohr propose en 1913 un nouveau modèle révolutionnaire basé sur la notion de quantification introduite par Planck et Einstein.

Les postulats de Bohr

Les niveaux d'énergie de l'hydrogène

L'énergie totale de l'électron (cinétique + potentielle) sur le niveau $n$ obéit à une loi mathématique stricte établie par Bohr :

Où $n$ est un nombre entier naturel non nul ($n = 1, 2, 3...$) appelé le nombre quantique principal, et $E_0 = 13,6 \text{ eV}$.

• Le niveau $n=1$ est le niveau d'énergie minimale ($E_1 = -13,6 \text{ eV}$). C'est l'état fondamental. L'atome y est parfaitement stable.
• Les niveaux $n > 1$ sont les états excités. L'électron y est instable et cherchera à redescendre.
• Pour $n \to \infty$, l'énergie $E_\infty = 0 \text{ eV}$. L'électron est complètement arraché de l'atome. L'atome est ionisé.

Les transitions énergétiques

Le 3ème postulat de Bohr explique comment l'atome échange de l'énergie avec l'extérieur :

Un atome ne peut absorber ou émettre de l'énergie que lors du saut d'un électron d'un niveau d'énergie à un autre (transition). Cet échange se fait par un "paquet" d'énergie appelé Photon.

3. Les séries du spectre d'émission de l'hydrogène

Lorsque des atomes d'hydrogène excités retournent à un état de plus basse énergie, ils émettent des photons. Chaque photon possède une longueur d'onde précise, ce qui donne naissance à un spectre de raies d'émission (des lignes de couleurs séparées par du noir), ce qui contredit la physique classique qui prédisait un arc-en-ciel continu.

Démonstration détaillée de la formule de Rydberg

Considérons une émission. L'électron passe d'un niveau supérieur $p$ vers un niveau inférieur $n$ ($p > n$).

L'énergie libérée par le photon est : $\Delta E = E_p - E_n$

En remplaçant par la formule de Bohr :

$$ \frac{h \cdot c}{\lambda} = \left( - \frac{E_0}{p^2} \right) - \left( - \frac{E_0}{n^2} \right) = \frac{E_0}{n^2} - \frac{E_0}{p^2} = E_0 \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{p^2} \right) $$

Attention aux unités ! Dans cette formule, $\frac{hc}{\lambda}$ est en Joules, mais $E_0$ est en électron-volts (eV). Pour convertir $E_0$ en Joules, on multiplie par la charge élémentaire $e$.

$$ \frac{h \cdot c}{\lambda} = E_0 \cdot e \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{p^2} \right) $$

En isolant l'inverse de la longueur d'onde $\frac{1}{\lambda}$ :

$$ \frac{1}{\lambda} = \frac{E_0 \cdot e}{h \cdot c} \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{p^2} \right) $$

On remarque que le bloc $\frac{E_0 \cdot e}{h \cdot c}$ est constitué uniquement de constantes physiques. On le nomme Constante de Rydberg ($R_H$).

Avec $R_H \approx 1,097 \cdot 10^7 \text{ m}^{-1}$.

Les différentes séries spectrales

Selon le niveau final $n$ où l'électron retombe, les scientifiques ont classé les rayonnements en "séries" portant les noms de leurs découvreurs :

4. Applications dans la vie réelle

5. Exercices corrigés

Exercice Global : L'atome d'Hydrogène sous la loupe de Bohr

On étudie les transitions énergétiques de l'électron dans l'atome d'hydrogène. L'énergie du niveau $n$ est donnée par la relation $E_n = - \frac{E_0}{n^2}$, avec $E_0 = 13,6 \text{ eV}$.

Données : Constante de Planck $h = 6,62 \cdot 10^{-34} \text{ J.s}$ ; Célérité de la lumière $c = 3 \cdot 10^8 \text{ m/s}$ ; Charge élémentaire $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}$.

Questions :

• 1 Calculer, en eV puis en Joules, les énergies du niveau fondamental ($n=1$) et des deux premiers états excités ($n=2$ et $n=3$).
• 2 Quelle est l'énergie d'ionisation de l'atome d'hydrogène ? Définissez ce terme.
• 3 Un électron de l'atome d'hydrogène subit une transition du niveau $p=4$ vers le niveau $n=2$. S'agit-il d'une émission ou d'une absorption de lumière ? Calculer l'énergie du photon échangé (en eV).
• 4 Déduire la longueur d'onde $\lambda$ de ce photon en nanomètres (nm). À quelle série spectrale appartient-elle ? Appartient-elle au domaine visible ?
• 5 L'atome d'hydrogène, pris initialement dans son état fondamental, reçoit un photon d'énergie incidente $E_{inc} = 11 \text{ eV}$. Ce photon sera-t-il absorbé ? Justifier par le calcul.
• 6 À partir de l'expression théorique de $\Delta E$, démontrer l'expression de la constante de Rydberg $R_H$ et calculer sa valeur.

Voir la solution Globale

Attention. Méthode infaillible : Les calculs quantiques nécessitent des conversions permanentes. Rappelez-vous toujours que la formule $\Delta E = h\nu$ fonctionne EXCLUSIVEMENT en Joules (J). Convertissez toujours les eV en multipliant par $e = 1,6 \cdot 10^{-19}$.

1 Calcul des niveaux d'énergie :
Pour $n=1$ (Fondamental) : $E_1 = - \frac{13,6}{1^2} = -13,6 \text{ eV}$.
En Joules : $-13,6 \times 1,6 \cdot 10^{-19} = -21,76 \cdot 10^{-19} \text{ J}$.
Pour $n=2$ : $E_2 = - \frac{13,6}{2^2} = - \frac{13,6}{4} = -3,4 \text{ eV}$.
En Joules : $-3,4 \times 1,6 \cdot 10^{-19} = -5,44 \cdot 10^{-19} \text{ J}$.
Pour $n=3$ : $E_3 = - \frac{13,6}{3^2} = - \frac{13,6}{9} \approx -1,51 \text{ eV}$.
En Joules : $-1,51 \times 1,6 \cdot 10^{-19} \approx -2,42 \cdot 10^{-19} \text{ J}$.

2 L'énergie d'ionisation est l'énergie minimale à fournir à l'atome dans son état fondamental pour arracher totalement l'électron (l'envoyer à $n = \infty$ où $E_\infty = 0$).
$E_{ionisation} = E_\infty - E_1 = 0 - (-13,6) = +13,6 \text{ eV}$.

3 Le passage d'un niveau supérieur ($p=4$) vers un niveau inférieur ($n=2$) correspond à une baisse d'énergie pour l'atome. Le surplus d'énergie est relâché vers l'extérieur : il s'agit d'une Émission de photon.
L'énergie du photon est $\Delta E = E_4 - E_2$.
$E_4 = - \frac{13,6}{4^2} = -0,85 \text{ eV}$.
$\Delta E = -0,85 - (-3,4) = 2,55 \text{ eV}$.

4 Longueur d'onde $\lambda$ :
On utilise la relation en Joules : $\Delta E = \frac{h \cdot c}{\lambda} \implies \lambda = \frac{h \cdot c}{\Delta E}$.
Conversion de $\Delta E$ : $2,55 \times 1,6 \cdot 10^{-19} = 4,08 \cdot 10^{-19} \text{ J}$.
$\lambda = \frac{6,62 \cdot 10^{-34} \times 3 \cdot 10^8}{4,08 \cdot 10^{-19}} = \frac{19,86 \cdot 10^{-26}}{4,08 \cdot 10^{-19}} \approx 4,86 \cdot 10^{-7} \text{ m}$.
En nanomètres ($1 \text{ nm} = 10^{-9} \text{ m}$), $\lambda \approx 486 \text{ nm}$.
Puisque l'électron retombe sur le niveau final $n=2$, cette transition appartient à la Série de Balmer. De plus, 486 nm est compris entre 400 nm et 800 nm, elle appartient donc bien au domaine de la lumière Visible (c'est la raie bleu-vert de l'hydrogène).

5 Pour qu'un photon soit absorbé, son énergie doit correspondre exactement à l'écart entre le niveau fondamental ($E_1 = -13,6 \text{ eV}$) et un niveau supérieur $E_x$.
Calculons l'énergie finale si l'absorption avait lieu :
$E_{final} = E_1 + E_{inc} = -13,6 + 11 = -2,6 \text{ eV}$.
Or, nous avons vu que $E_2 = -3,4 \text{ eV}$ et $E_3 = -1,51 \text{ eV}$.
L'énergie $-2,6 \text{ eV}$ se situe dans le "vide" entre le niveau 2 et le niveau 3. Elle ne correspond à aucune orbite permise. Le photon ne sera donc pas absorbé.

6 Démonstration de $R_H$ :
On sait que l'énergie du photon émis est :
$\frac{h \cdot c}{\lambda} = E_p - E_n \text{ (en Joules)}$
$\frac{h \cdot c}{\lambda} = \left(-\frac{E_0 \cdot e}{p^2}\right) - \left(-\frac{E_0 \cdot e}{n^2}\right)$ (multiplication par $e$ pour passer de eV en Joules).
$\frac{h \cdot c}{\lambda} = E_0 \cdot e \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{p^2} \right)$
En divisant par $(h \cdot c)$, on trouve :
$\frac{1}{\lambda} = \frac{E_0 \cdot e}{h \cdot c} \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{p^2} \right)$.
Par identification avec la formule $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{p^2} \right)$, on a la relation théorique :

$R_H = \frac{E_0 \cdot e}{h \cdot c}$

Calcul : $R_H = \frac{13,6 \times 1,6 \cdot 10^{-19}}{6,62 \cdot 10^{-34} \times 3 \cdot 10^8} = \frac{21,76 \cdot 10^{-19}}{19,86 \cdot 10^{-26}} \approx 1,095 \cdot 10^7 \text{ m}^{-1}$. (Très proche de la valeur tabulée $1,097 \cdot 10^7$).

6. QCM : 30 questions

7. Documents à télécharger

• Supports imprimables : activités, exercices et figures

  Version à imprimer
  Voir