Décroissance radioactive

En physique nucléaire, le noyau d'un atome X est symbolisé de la manière suivante :

• X : Symbole de l'élément chimique (ex: C pour Carbone, U pour Uranium).
• Z (Numéro atomique) : C'est le nombre de protons contenus dans le noyau. C'est ce nombre qui définit l'élément chimique. Il est aussi appelé nombre de charge.
• A (Nombre de masse) : C'est le nombre total de nucléons (la somme des protons et des neutrons).

Le nombre de neutrons, noté N, se calcule simplement par la soustraction : $N = A - Z$.

Un nucléide désigne l'ensemble des atomes ou noyaux identiques, c'est-à-dire ayant exactement le même nombre de protons ($Z$) et le même nombre de neutrons ($N$). Contrairement au terme "élément chimique" (qui regroupe tous les isotopes partageant un même $Z$), le terme "nucléide" cible une espèce nucléaire bien précise et unique.

Exemple : L'Uranium 238 (${}_{92}^{238}U$) et l'Uranium 235 (${}_{92}^{235}U$) appartiennent au même élément chimique, mais ce sont deux nucléides totalement différents en physique nucléaire.

Le noyau atomique est infiniment petit. Son rayon $r$ dépend du nombre de nucléons $A$ selon la relation empirique : $r = r_0 \cdot A^{1/3}$, avec $r_0 \approx 1,2 \cdot 10^{-15} \text{ m}$ (soit $1,2 \text{ fm}$, femtomètre).

Démonstration détaillée de la densité nucléaire :

Calculons la masse volumique (densité absolue) $\rho$ du noyau, définie par $\rho = \frac{m_{noyau}}{V_{noyau}}$.

• La masse du noyau : Elle est quasiment égale à la somme des masses de ses nucléons. $m_{noyau} \approx A \cdot m_p$ (avec $m_p \approx 1,67 \cdot 10^{-27} \text{ kg}$ la masse d'un nucléon).
• Le volume du noyau : En assimilant le noyau à une sphère parfaite, son volume est $V_{noyau} = \frac{4}{3} \pi r^3$.
  En remplaçant $r$ : $V_{noyau} = \frac{4}{3} \pi (r_0 \cdot A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot r_0^3 \cdot A$.

En remplaçant dans la formule de la masse volumique :

Conclusion : Le nombre de masse $A$ se simplifie ! La densité de la matière nucléaire est donc indépendante du type de noyau (elle est la même pour tous les atomes). En effectuant le calcul numérique, on trouve $\rho \approx 2,3 \cdot 10^{17} \text{ kg/m}^3$. C'est une densité phénoménale (un centimètre cube de matière nucléaire pèserait des centaines de millions de tonnes sur Terre !).

Il existe dans la nature des centaines de noyaux différents. Certains sont stables et ne changeront jamais. D'autres sont instables (radioactifs) et se transformeront un jour. Pour visualiser cette stabilité, les physiciens placent tous les noyaux connus sur un graphique appelé le diagramme de Segré. En abscisse figure le nombre de protons Z, et en ordonnée le nombre de neutrons N.

Analyse du diagramme :

• Les noyaux stables (zone rouge) se regroupent dans une zone appelée la vallée de stabilité.
• Pour les noyaux légers ($Z < 20$), la stabilité est obtenue lorsque le nombre de protons est approximativement égal au nombre de neutrons ($N \approx Z$, soit la droite d'équation $N=Z$).
• Pour les noyaux plus lourds ($Z > 20$), la répulsion électrique entre les nombreux protons devient très forte. Pour maintenir le noyau uni, il faut un surplus de neutrons. La vallée de stabilité s'écarte au-dessus de la droite $N=Z$ (donc $N > Z$).
• Les noyaux situés en dehors de cette vallée noire sont instables (radioactifs). Ils chercheront à s'en rapprocher en émettant des rayonnements.

Lors de toute réaction nucléaire, le chimiste Frederick Soddy a établi que deux grandeurs fondamentales sont strictement conservées :

Considérons l'équation générale d'une désintégration :

• Loi de conservation du nombre de masse A (Nucléons) : La somme des nombres de masse avant la réaction est égale à la somme après la réaction. $\implies \mathbf{A = A' + a}$
• Loi de conservation du nombre de charge Z (Protons) : La somme des numéros atomiques avant la réaction est égale à la somme après la réaction. $\implies \mathbf{Z = Z' + z}$

Ce type de radioactivité concerne principalement les noyaux lourds (qui possèdent trop de nucléons, tout au bout du diagramme de Segré). Le noyau père instable expulse une particule lourde : un noyau d'Hélium ${}_{2}^{4}He$, que l'on appelle particule $\alpha$.

L'équation générale s'écrit :

Exemple : L'Uranium 238 se transforme en Thorium en émettant une particule $\alpha$ :

Ce type concerne les noyaux qui possèdent un excès de neutrons (situés au-dessus de la vallée de stabilité). Pour retrouver la stabilité, un neutron à l'intérieur du noyau se transforme magiquement en un proton, en expulsant un électron ${}_{-1}^{0}e$ très rapide (appelé particule $\beta^-$).

L'équation générale s'écrit :

Transformation interne : ${}_{0}^{1}n \rightarrow {}_{1}^{1}p + {}_{-1}^{0}e$

Exemple : Le Carbone 14 (utilisé pour la datation) se transforme en Azote :

Ce type concerne les noyaux artificiels qui possèdent un excès de protons (situés en dessous de la vallée de stabilité). Un proton du noyau se transforme en neutron, en expulsant une particule d'antimatière : un positron ${}_{1}^{0}e$ (ou positon, particule $\beta^+$).

L'équation générale s'écrit :

Transformation interne : ${}_{1}^{1}p \rightarrow {}_{0}^{1}n + {}_{1}^{0}e$

Exemple : Le Phosphore 30 se transforme en Silicium :

Suite à une désintégration ($\alpha$, $\beta^-$ ou $\beta^+$), le noyau fils nouvellement créé se trouve souvent dans un état "excité" (il possède un surplus d'énergie interne). On le note avec une astérisque ($Y^*$).

Pour revenir à son état fondamental stable et se calmer, il se désexcite en libérant cette énergie excédentaire sous forme d'une onde électromagnétique très énergétique (un photon) : le rayonnement $\gamma$.

Une famille radioactive est l'ensemble des noyaux créés (fils, petits-fils, etc.) à partir d'un même noyau père instable initial. Le processus de désintégration se poursuit en cascade, d'un noyau instable à un autre, jusqu'à ce que la chaîne s'arrête définitivement en atteignant un noyau parfaitement stable (souvent un isotope du Plomb Pb).

Outils mathématiques indispensables (exponentielle et logarithme)

Dans cette partie, nous allons utiliser deux fonctions mathématiques fondamentales que vous étudierez en détail en cours de mathématiques : la fonction Exponentielle (notée $e^x$ ou $\exp(x)$) et la fonction Logarithme Népérien (notée $\ln(x)$). Elles sont "l'inverse" l'une de l'autre.

Voici les règles de calcul à connaître par cœur pour résoudre les exercices de physique :

La constante de temps, notée $\tau$ (tau), caractérise la rapidité avec laquelle l'échantillon radioactif se désintègre. Elle est définie comme l'inverse de la constante radioactive :

Elle s'exprime en secondes (s) dans le système international.

Détermination graphique de $\tau$ : Il existe deux méthodes pour trouver $\tau$ sur la courbe $N=f(t)$ :

• Méthode mathématique (37%) : À l'instant $t = \tau$, le calcul donne $N(\tau) = N_0 \cdot e^{-1} \approx 0,37 \cdot N_0$. Il ne reste donc plus que 37% des noyaux initiaux. On repère la valeur $0,37 N_0$ sur l'axe des ordonnées, et l'abscisse correspondante est $\tau$.
• Méthode de la tangente : L'abscisse du point d'intersection entre la tangente à la courbe tracée à l'instant initial $t=0$ et l'axe horizontal des temps correspond exactement à $\tau$.

Le temps de demi-vie radioactive, noté $t_{1/2}$, est la durée au bout de laquelle exactement la moitié des noyaux radioactifs initialement présents dans un échantillon se sont désintégrés. Il en reste donc la moitié.

Par définition : À $t = t_{1/2}$, on a $N(t_{1/2}) = \frac{N_0}{2}$.

Démonstration détaillée de l'expression de $t_{1/2}$ :

Partons de la loi de décroissance et appliquons la définition de la demi-vie :

$N(t_{1/2}) = \frac{N_0}{2}$

Remplaçons $N(t_{1/2})$ par son expression exponentielle :

$N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t_{1/2}} = \frac{N_0}{2}$

On simplifie l'équation en divisant par $N_0$ des deux côtés :

$e^{-\lambda \cdot t_{1/2}} = \frac{1}{2}$

Pour annuler l'exponentielle et libérer le temps, on applique la fonction logarithme népérien ($\ln$) de part et d'autre :

$\ln(e^{-\lambda \cdot t_{1/2}}) = \ln\left(\frac{1}{2}\right)$

Sachant que $\ln(e^x) = x$ et que $\ln(1/a) = -\ln(a)$, on obtient :

$-\lambda \cdot t_{1/2} = -\ln(2)$

Les signes moins s'annulent. On isole finalement le temps de demi-vie pour aboutir à la relation fondamentale :

L'activité d'un échantillon radioactif, notée $a(t)$ (ou parfois $A(t)$), représente le nombre moyen de désintégrations qui se produisent par seconde dans cet échantillon. Elle mesure le caractère "dangereux" ou "rayonnant" de la source.

L'unité légale dans le Système International est le Becquerel (Bq).
1 Becquerel = 1 désintégration par seconde.

Mathématiquement, l'activité est l'opposé de la dérivée du nombre de noyaux par rapport au temps (puisque N diminue, sa dérivée est négative) :

Démonstration de la loi de l'activité :

Remplaçons $N$ par sa loi exponentielle : $a(t) = -\frac{d}{dt}\left(N_0 \cdot e^{-\lambda t}\right)$

La constante $N_0$ sort de la dérivée. La dérivée de $e^{-\lambda t}$ est $-\lambda \cdot e^{-\lambda t}$.

$a(t) = -N_0 \times (-\lambda \cdot e^{-\lambda t})$

$a(t) = \lambda \cdot N_0 \cdot e^{-\lambda t}$

Or, le produit $\lambda \cdot N_0$ représente l'activité de l'échantillon à l'instant initial $t=0$. On le note $a_0$.

En remplaçant ce terme, on constate avec fascination que l'activité suit exactement la même loi mathématique décroissante que le nombre de noyaux :

La loi de décroissance radioactive et la mesure de l'activité permettent de déterminer l'âge d'un objet ancien (fossile, roche, monument). C'est le principe de la datation radioactive (comme le Carbone 14 abordé dans la situation de départ).

Démonstration détaillée de la formule de datation :

On sait que l'activité d'un échantillon à un instant $t$ est donnée par : $a(t) = a_0 \cdot e^{-\lambda t}$.
Le but est de trouver le temps $t$ écoulé depuis la mort de l'organisme (instant $t=0$).

• On divise par $a_0$ : $\frac{a(t)}{a_0} = e^{-\lambda t}$.
• On inverse la fraction pour éliminer le signe moins de l'exposant : $\frac{a_0}{a(t)} = e^{\lambda t}$.
• On applique le logarithme népérien ($\ln$) des deux côtés : $\ln\left(\frac{a_0}{a(t)}\right) = \lambda t$.
• On isole le temps $t$ et on remplace $\lambda$ par $\frac{\ln(2)}{t_{1/2}}$ :

La découverte de la radioactivité a bouleversé la science moderne et offre aujourd'hui de nombreuses applications technologiques, médicales et archéologiques :

• La Datation archéologique (Situation de départ) : Le Carbone 14 est assimilé par tous les êtres vivants. À leur mort (comme l'arbre coupé pour construire l'Agadir), le C14 n'est plus renouvelé et commence sa décroissance radioactive. En mesurant l'activité restante $a(t)$ sur le bois aujourd'hui, et connaissant son $t_{1/2}$ (5730 ans), les scientifiques calculent le temps $t$ écoulé depuis la mort de l'arbre, donnant ainsi la date exacte de construction.
• La Radiothérapie médicale : En médecine, on utilise des sources radioactives très ciblées (comme le Cobalt 60 ou l'Iode 131) émettant des rayonnements pénétrants (gamma ou bêta) pour brûler et détruire spécifiquement les cellules cancéreuses dans les tumeurs, sans chirurgie lourde.
• Les Traceurs biologiques (Scintigraphie) : On injecte au patient une très faible quantité d'un produit radioactif à vie courte (qui disparaît vite du corps). Des caméras spéciales suivent le trajet des rayonnements émis de l'intérieur du corps, permettant aux médecins de filmer le fonctionnement des organes (thyroïde, cerveau) en temps réel.
• La production d'Énergie : Bien qu'il s'agisse de fission provoquée, les principes de la physique nucléaire sont au cœur du fonctionnement des centrales nucléaires qui produisent de l'électricité propre en grande quantité.

Recherche d'approfondissement

Pour développer votre culture scientifique et technologique, vous pouvez orienter vos recherches vers les sujets suivants :

• Les déchets nucléaires : Puisque la loi de décroissance est exponentielle, elle ne tombe mathématiquement jamais à zéro. Comment l'humanité gère-t-elle le stockage des éléments radioactifs qui ont un temps de demi-vie de plusieurs millions d'années ?
• L'accident de Tchernobyl et Fukushima : Quelles furent les conséquences de la dispersion d'isotopes radioactifs volatils (comme l'iode ou le césium) sur la santé des populations et la nature de la zone d'exclusion ?
• L'évolution du Soleil : Saviez-vous que la lumière et la chaleur du soleil proviennent de réactions nucléaires permanentes en son cœur ? Cherchez la différence entre la radioactivité naturelle et la fusion nucléaire stellaire.