Document : Situation de départ

Lors d'une mission d'exploration dans l'Anti-Atlas, une équipe d'archéologues a découvert les ruines d'un ancien Agadir (grenier collectif fortifié). Parmi les décombres, ils ont retrouvé des fragments de poutres en bois d'arganier.
Les habitants de la vallée affirment que ce grenier a été construit il y a plusieurs siècles pour protéger les récoltes, mais la date exacte de sa fondation reste inconnue. Pour la déterminer, un fragment du bois d'arganier est analysé au Carbone 14. Les résultats montrent une activité radioactive nettement inférieure à celle d'un bois d'arganier vivant actuel.

👉 Problème : D'où provient cette radioactivité naturelle présente dans le bois ? Comment sa diminution progressive au fil des siècles permet-elle de déterminer l'âge exact de la construction de l'Agadir ?

Activité documentaire : La découverte de la radioactivité

En 1896, le physicien français Henri Becquerel étudiait le phénomène de la fluorescence. Il pensait que certains sels d'uranium émettaient des rayons visibles uniquement après avoir été exposés longuement à la lumière du soleil.
Cependant, fin février 1896, le ciel de Paris était très couvert. Becquerel décida de ranger ses plaques photographiques neuves et ses échantillons d'uranium dans un tiroir sombre, pensant reporter ses expériences à des jours plus ensoleillés.

Le 1er mars, par acquis de conscience, il décida de développer ses plaques photographiques restées dans l'obscurité totale. À sa grande surprise, les plaques étaient fortement impressionnées (noircies) avec la silhouette exacte des cristaux d'uranium ! Il répéta l'expérience avec soin et conclut de manière irréfutable : l'uranium émet spontanément des rayonnements invisibles et très pénétrants, sans aucune excitation extérieure préalable.

Deux ans plus tard, en 1898, les scientifiques Pierre et Marie Curie découvrirent dans le même minerai deux nouveaux éléments beaucoup plus rayonnants que l'uranium : le Polonium (nommé en l'honneur de la patrie de Marie Curie) et le Radium. C'est à cette occasion que Marie Curie inventa le mot scientifique « Radioactivité » pour décrire cette propriété incroyable de la matière.

Questions :

1 Le phénomène de la radioactivité a-t-il été découvert de manière préméditée par une prédiction théorique ou par un pur hasard expérimental ?

2 En vous basant sur le texte, donnez une définition simple de la radioactivité.

3 Citez les noms des deux nouveaux noyaux radioactifs identifiés par Pierre et Marie Curie en 1898.

Activité expérimentale : La courbe de décroissance

On dispose à un instant initial $t=0$ d'un échantillon contenant $N_0$ noyaux radioactifs d'une substance donnée. À l'aide de compteurs spécifiques informatisés, on mesure le nombre de noyaux $N(t)$ qui n'ont pas encore été désintégrés au cours du temps. L'ordinateur trace la courbe d'évolution $N = f(t)$.

Questions :

1 Comment évolue le nombre de noyaux radioactifs restants $N(t)$ au fil du temps ? La diminution est-elle linéaire (une droite parfaite) ?

2 En observant cette allure de courbe asymétrique, quelle célèbre fonction mathématique modélise parfaitement ce comportement physique ?

Exercice 1 : Étude de la radioactivité d'un Isotope médical

L'iode 131 (${}_{53}^{131}I$) est un isotope radioactif artificiel très utilisé dans le domaine médical, notamment pour le diagnostic et le traitement des maladies de la glande thyroïde. Il est instable car son noyau possède un excès de neutrons. Il se désintègre pour former un noyau stable de Xénon (${}_{Z}^{A}Xe$).

Questions :

1 Déterminer la composition complète (nombre de protons et nombre de neutrons) du noyau de l'iode 131.

2 En expliquant brièvement votre raisonnement basé sur les lois de conservation, écrire l'équation complète de la désintégration de l'iode 131 et trouver les valeurs de $A$ et $Z$ du noyau de Xénon formé.

3 Déduire la nature exacte du type de radioactivité observé lors de cette transformation nucléaire.

4 Le temps de demi-vie de l'iode 131 est $t_{1/2} = 8,0 \text{ jours}$. Calculer la constante radioactive $\lambda$ de cet isotope. (Pensez à convertir le résultat en jour$^{-1}$ puis en s$^{-1}$).

5 Un service hospitalier prépare à l'instant initial $t=0$ un échantillon d'iode 131 contenant $N_0 = 4,5 \cdot 10^{15}$ noyaux. Quelle est la signification physique de la demi-vie ? Combien de noyaux $N(t)$ restera-t-il exactement dans l'échantillon au bout de $16 \text{ jours}$ sans utiliser la loi exponentielle ?

6 Calculer l'activité initiale $a_0$ de cet échantillon au moment de sa préparation. L'exprimer en Becquerels (Bq).

7 En utilisant la loi de décroissance mathématique, calculer le nombre de noyaux $N(t)$ non désintégrés qui seront encore présents dans l'échantillon après une durée de $24 \text{ jours}$. Ce résultat est-il cohérent avec la notion de demi-vie ?

Exercice 2 : Exploitation du graphe logarithmique Ln(N) = f(t)

Afin d'étudier la radioactivité d'un échantillon d'Américium 241 (${}_{95}^{241}Am$), très utilisé dans les détecteurs de fumée domestiques, un chercheur a mesuré à l'aide d'un compteur Geiger le nombre de noyaux $N(t)$ présents à différentes dates. Pour faciliter le traitement des données, le chercheur a utilisé un tableur qui a tracé l'évolution du logarithme népérien du nombre de noyaux en fonction du temps : $\ln(N) = f(t)$. Le graphe obtenu est la figure ci-dessous.

Questions :

1 Rappeler l'expression de la loi de décroissance radioactive donnant $N(t)$.

2 En appliquant la fonction mathématique $\ln$ des deux côtés de cette relation (et en utilisant les propriétés encadrées dans le cours), montrer que l'on peut aboutir à l'équation littérale : $\ln(N) = -\lambda \cdot t + \ln(N_0)$.

3 Identifier le type de courbe représentée sur la figure 2. Expliquer comment cette courbe graphique valide la relation théorique démontrée à la question 2.

4 Par exploitation directe du graphique, déterminer la valeur de l'ordonnée à l'origine $\ln(N_0)$. En déduire, par calcul inverse, le nombre de noyaux initiaux $N_0$ présents dans l'échantillon à $t=0$.

5 Toujours par exploitation graphique, calculer le coefficient directeur (la pente) de cette droite. En déduire la valeur de la constante radioactive $\lambda$ (préciser l'unité issue du graphe).

6 Calculer la valeur du temps de demi-vie $t_{1/2}$ de l'Américium 241 étudié.

7 Sachant que l'activité obéit à la loi $a(t) = a_0 \cdot e^{-\lambda t}$, déterminer par le calcul la valeur de l'activité $a$ de l'échantillon après 10 jours.