Modulation et démodulation d'amplitude

La transmission directe d'un signal sonore (Basse Fréquence BF, de 20 Hz à 20 kHz) sous forme d'onde électromagnétique est impossible sur de longues distances. Le signal s'amortit très rapidement, et la taille de l'antenne nécessaire serait irréalisable (plusieurs kilomètres). La solution technologique est la Modulation.

À l'entrée $E_1$, on applique le signal d'information (le son converti en électricité). C'est un signal de Basse Fréquence $f_s$. Pour des raisons techniques liées à la qualité de la modulation, on doit impérativement lui ajouter une tension continue constante $U_0$ (appelée tension de décalage ou offset).

À l'entrée $E_2$, on applique le signal Porteur (La porteuse). C'est un signal sinusoïdal de très Haute Fréquence $f_p$ (avec $f_p \gg f_s$). C'est ce signal qui a la capacité de voyager très loin dans l'espace.

Démonstration mathématique détaillée :

Le multiplieur effectue le produit : $u_s(t) = k \cdot [S_m \cos(2\pi f_s \cdot t) + U_0] \cdot P_m \cos(2\pi f_p \cdot t)$.

Factorisons par la tension de décalage $U_0$ dans les crochets :

$u_s(t) = k \cdot U_0 \left[ \frac{S_m}{U_0} \cos(2\pi f_s \cdot t) + 1 \right] \cdot P_m \cos(2\pi f_p \cdot t)$

Réorganisons les termes pour obtenir la forme standard :

$u_s(t) = \underbrace{k \cdot U_0 \cdot P_m}_{A} \left[ 1 + \underbrace{\frac{S_m}{U_0}}_{m} \cos(2\pi f_s \cdot t) \right] \cos(2\pi f_p \cdot t)$

On pose deux constantes fondamentales :

• $A = k \cdot U_0 \cdot P_m$ : L'amplitude de l'onde porteuse en l'absence de signal modulant (en V).
• $m = \frac{S_m}{U_0}$ : Une grandeur sans unité appelée taux de modulation.

L'expression finale de la tension modulée s'écrit donc :

On peut aussi écrire $u_s(t) = U_{m}(t) \cdot \cos(2\pi f_p \cdot t)$ où l'amplitude globale $U_{m}(t) = A [1 + m \cos(2\pi f_s \cdot t)]$ varie au cours du temps (Modulation d'Amplitude). L'enveloppe extérieure du signal Haute Fréquence dessine fidèlement la forme du signal Basse Fréquence.

Pour que la réception de l'information se fasse sans distorsion (déformation), deux conditions strictes doivent être respectées à l'émission :

• Condition sur les fréquences : La fréquence de la porteuse doit être très supérieure à celle du signal modulant. $f_p \gg f_s$ (en général $f_p > 10 \cdot f_s$).
• Condition sur les tensions (Taux de modulation) : Le taux de modulation doit être strictement inférieur à 1. $m < 1$. Cela implique que l'amplitude du signal modulant doit être inférieure à la tension de décalage ($S_m < U_0$). Si $m \ge 1$, il y a surmodulation et l'enveloppe est cisaillée, entraînant une perte d'information.

Détermination pratique du taux de modulation $m$ :

Sur l'oscillogramme du signal modulé $u_s(t)$, on mesure l'amplitude maximale $U_{max}$ de l'enveloppe et l'amplitude minimale $U_{min}$ de l'enveloppe.

Démonstration de la relation de $m$ :

• L'amplitude de la tension modulée est $U_{m}(t) = A [1 + m \cos(2\pi f_s \cdot t)]$.
• La valeur maximale est atteinte quand $\cos(2\pi f_s \cdot t) = 1$, soit : $U_{max} = A(1 + m)$.
• La valeur minimale est atteinte quand $\cos(2\pi f_s \cdot t) = -1$, soit : $U_{min} = A(1 - m)$.
• En faisant la somme : $U_{max} + U_{min} = A + Am + A - Am = 2A \implies A = \frac{U_{max} + U_{min}}{2}$.
• En faisant la différence : $U_{max} - U_{min} = A + Am - (A - Am) = 2Am$.
• En divisant la différence par la somme, on obtient : $\frac{U_{max} - U_{min}}{U_{max} + U_{min}} = \frac{2Am}{2A} = m$.

On aboutit ainsi à la relation très utile pour les exercices :

Sur l'oscilloscope, on peut utiliser le mode XY. On place le signal modulé $u_s(t)$ sur la voie Y et le signal modulant seul $u_1(t)$ sur la voie X. L'écran affiche alors un motif géométrique :

• Si on obtient un Trapèze (bordures droites ne se croisant pas), la modulation est bonne ($m < 1$).
• Si on obtient deux triangles qui se touchent par les pointes (nœud papillon), il y a surmodulation ($m > 1$).

L'analyse mathématique de la tension modulée montre qu'elle est en réalité la somme de trois ondes sinusoïdales pures de fréquences différentes.

Démonstration :
On part de $u_s(t) = A \cos(2\pi f_p t) + A \cdot m \cos(2\pi f_s t) \cos(2\pi f_p t)$.
En utilisant la formule trigonométrique $\cos(a) \cdot \cos(b) = \frac{1}{2}[\cos(a+b) + \cos(a-b)]$, on obtient :

Le signal modulé est donc composé d'une raie centrale de grande amplitude (fréquence de la porteuse) entourée de deux raies latérales de fréquences plus faibles (bandes latérales contenant l'information) :

• Fréquence centrale : $\mathbf{f_p}$ (Amplitude $A$).
• Fréquence latérale supérieure : $\mathbf{f_p + f_s}$ (Amplitude $\frac{A \cdot m}{2}$).
• Fréquence latérale inférieure : $\mathbf{f_p - f_s}$ (Amplitude $\frac{A \cdot m}{2}$).

La largeur de la bande de fréquences occupée par l'émission est $\Delta f = (f_p + f_s) - (f_p - f_s) = \mathbf{2 \cdot f_s}$.

La démodulation est l'opération inverse de la modulation. Son but est d'extraire (récupérer) le signal d'information (Basse Fréquence) de l'onde modulée reçue par l'antenne, tout en éliminant la porteuse (Haute Fréquence) devenue inutile. Cette opération se fait en deux étapes successives.

Rôle : Extraire la partie supérieure de l'enveloppe du signal modulé, qui contient l'information $s(t) + U_0$, et bloquer les oscillations négatives et les hautes fréquences internes.

Le circuit : Il est composé d'une diode (qui ne laisse passer le courant que dans un sens, coupant les alternances négatives) suivie d'un filtre composé d'un conducteur ohmique $R$ en parallèle avec un condensateur $C$.

Condition d'une bonne détection d'enveloppe :

Pour que la courbe résultante suive parfaitement les variations du signal d'information sans chuter trop vite ni trop lentement, la constante de temps du circuit parallèle $\tau = R \cdot C$ doit vérifier une double condition très précise :

• $\tau > T_p$ (ou $\tau \gg T_p$) : La décharge du condensateur doit être assez lente pour ne pas retomber à zéro entre deux crêtes de la porteuse Haute Fréquence.
• $\tau < T_s$ : La décharge doit cependant être assez rapide pour suivre les descentes de l'enveloppe du signal Basse Fréquence sans les "lisser" (sinon l'information est perdue).

Rôle : Le signal obtenu à l'étape 1 est $s(t) + U_0$. Il contient encore la tension constante de décalage $U_0$ qu'on avait ajoutée artificiellement à l'émission. L'étape 2 sert à la supprimer pour récupérer le signal audio pur $s(t)$, centré sur zéro.

Le circuit : Il s'agit d'un filtre "Passe-haut" constitué d'un condensateur $C'$ monté en série avec une résistance $R'$. Le condensateur en série a la propriété de bloquer les tensions continues ($U_0$) tout en laissant passer les signaux alternatifs variables ($s(t)$).

Le poste radio (récepteur AM) que l'on utilise à la maison (comme dans notre situation de départ dans l'Atlas) est un assemblage logique de circuits électroniques. L'espace est saturé de milliers d'ondes électromagnétiques différentes. Le récepteur doit capter, trier, amplifier et extraire le signal de l'unique station que l'on souhaite écouter.

La chaîne de réception classique est une cascade des éléments suivants :

• L'antenne de réception : Capte l'ensemble des ondes électromagnétiques de l'environnement et les transforme en signaux électriques très faibles.
• Le circuit d'accord (Sélection) : Il trie les fréquences pour ne garder que celle de la radio désirée.
• L'amplificateur Haute Fréquence (HF) : Indispensable pour augmenter l'amplitude du signal capté avant son traitement.
• Le circuit de démodulation : Extrait l'enveloppe (diode + RC parallèle) puis élimine la tension continue (condensateur série).
• L'amplificateur Basse Fréquence (BF) : Renforce le signal final d'information.
• Le haut-parleur : Restitue le signal électrique sous forme d'ondes sonores (voix, musique).

Le circuit d'accord (aussi appelé circuit bouchon) est constitué d'une bobine d'inductance $L$ et d'un condensateur de capacité $C$ montés en parallèle. Ce circuit possède une fréquence propre de résonance définie par :

Principe de sélection (syntonisation) :
L'antenne capte toutes les stations en même temps. Pour écouter une radio spécifique émettant sur une fréquence porteuse $f_p$, l'utilisateur tourne un bouton sur le poste radio. Ce bouton est en réalité relié à un condensateur variable (la capacité $C$ change).
Lorsque l'on modifie $C$ de telle sorte que la fréquence propre du circuit devienne strictement égale à la fréquence de la station désirée, il se produit un phénomène de résonance. Le circuit d'accord ne laisse alors passer vers la suite du circuit que ce signal précis, et bloque tous les autres.

La maîtrise de la modulation d'amplitude (AM) et de fréquence (FM) a bâti notre monde hyper-connecté :

• La bande Radio AM et FM : Les radios AM (Grandes Ondes) utilisent des fréquences autour de $1 \text{ MHz}$. Bien que la qualité sonore soit moyenne (sensible aux parasites électriques), l'onde porte extrêmement loin. La bande FM (autour de $100 \text{ MHz}$) offre une qualité sonore parfaite, mais sa portée est limitée aux obstacles visuels.
• La Télévision analogique : Historiquement, l'image était transmise par modulation d'amplitude (AM) car elle prend moins d'espace dans le spectre, tandis que le son du même programme était transmis par modulation de fréquence (FM).
• L'Aviation civile : Les communications entre les avions et les tours de contrôle utilisent toujours la modulation d'amplitude. L'avantage principal de l'AM est que si deux avions parlent en même temps, le contrôleur entendra les deux voix mélangées. En FM, le signal le plus fort "écrase" totalement l'autre, ce qui serait dangereux.
• Le Wi-Fi et la 4G : Ces technologies modernes n'utilisent plus des signaux analogiques, mais des modulations numériques ultra-complexes (QAM : Modulation d'Amplitude en Quadrature) qui combinent des variations d'amplitude et de phase pour transmettre des milliards de bits par seconde.

Recherche d'approfondissement

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• Le traitement numérique du signal (DSP) : Les vieux postes radio utilisent des condensateurs et des bobines. Comment les smartphones parviennent-ils à démoduler les signaux FM uniquement grâce à des calculs mathématiques réalisés par un microprocesseur ?