Document : Situation de départ

Dans de nombreux ateliers marocains (minoteries traditionnelles ou ateliers de céramique), on utilise des machines tournantes lourdes (meules, tours de potier, volants d'inertie). Lors de la mise en marche, l'artisan ou le moteur doit fournir un effort important (un couple moteur élevé) pour lancer la rotation de la machine. Une fois la vitesse de croisière atteinte, cet effort diminue considérablement. Inversement, pour arrêter une meule lourde rapidement, un simple frottement ne suffit pas toujours.

Quelle relation mathématique lie la cause du mouvement (le moment des forces appliquées) à l'effet produit (la variation de la vitesse angulaire ou accélération angulaire) ? Comment la répartition de la masse autour de l'axe (inertie) influence-t-elle cette mise en mouvement ?

Activité expérimentale : Repérage d'un solide en rotation

On fait tourner un disque autour d'un axe central fixe $(\Delta)$. Un point M placé sur la périphérie du disque décrit une trajectoire circulaire de rayon R. À l'aide d'un capteur optique, on enregistre l'angle parcouru par le point M au cours du temps.

Questions :

Exercice 1 : Accélération d'un disque

Un disque homogène (D) de rayon $R = 20 \text{ cm}$ et de moment d'inertie $J_\Delta = 0,5 \text{ kg.m}^2$ est initialement au repos. On lui applique une force motrice tangentielle $F = 10 \text{ N}$ constante sur sa périphérie. Le disque est soumis à un couple de frottement constant $M_f = -0,5 \text{ N.m}$. L'axe de rotation est horizontal et passe par le centre de gravité du disque.

Questions :

• 1 Faire le bilan des moments des forces appliquées sur le disque.
• 2 Appliquer la Relation Fondamentale de la Dynamique (RFD) et déterminer l'accélération angulaire $\ddot{\theta}$ du disque.
• 3 Déduire la nature du mouvement du disque.
• 4 Déterminer l'équation horaire de la vitesse angulaire $\dot{\theta}(t)$ et calculer sa valeur à l'instant $t = 2 \text{ s}$.

Exercice 2 : Couplage Translation - Rotation

Un système mécanique est composé de :
- Un corps solide (S) de masse $m = 2 \text{ kg}$, glissant avec frottement sur un plan incliné d'un angle $\alpha = 30^\circ$ par rapport à l'horizontale. La force de frottement $f$ est supposée constante de valeur $f = 1,8 \text{ N}$.
- Une poulie homogène de rayon $r = 10 \text{ cm}$ et de moment d'inertie $J_\Delta = 0,01 \text{ kg.m}^2$.
- Un fil inextensible et de masse négligeable, enroulé sur la poulie et attaché au solide (S). Le fil ne glisse pas sur la poulie.

On libère le système sans vitesse initiale. Le solide (S) descend le long du plan incliné, entraînant la rotation de la poulie.

Questions :

• 1 En appliquant la deuxième loi de Newton au solide (S), établir une première équation liant la tension du fil $T$ et l'accélération linéaire $a$ du solide.
• 2 En appliquant la RFD à la poulie, établir une deuxième équation liant la tension $T'$, le moment d'inertie $J_\Delta$ et l'accélération angulaire $\ddot{\theta}$.
• 3 Rappeler la relation cinématique liant $a$ et $\ddot{\theta}$ (le fil ne glissant pas). Démontrer alors que l'accélération linéaire du solide s'écrit :
  $a = \frac{m \cdot g \cdot \sin(\alpha) - f}{m + \frac{J_\Delta}{r^2}}$
• 4 Calculer la valeur de l'accélération $a$ (on donne $g = 10 \text{ m/s}^2$).